Необходимые сведения из теории математической обработки геодезических измерений. Погрешности. Среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Нормальный закон распределения случайной величины

    Скачать с Depositfiles 

1. Необходимые сведения из теории математической обработки геодезических измерений

1.1 Погрешности

Самые тщательные и точные результаты измерений не совпадают с истинными значениями измеряемых величин, т.е. содержат погрешности. Это подтверждается тем, что результаты измерения одной и той же величины, как правило, не совпадают друг с другом.

Причиной появления погрешностей является то обстоятельство, что как на измеряемый объект, так и на измерительный прибор, действует множество помех, как внешнего, так и внутреннего характера. Кроме того, на измерительный процесс оказывают влияние помехи со стороны среды, в которой выполняются измерения.

Вследствие указанных причин в результате измерений наблюдатель получает не истинное значение физической величины, а только какое-то приближение к ней.

Истинной погрешностью  результата измерения  некоторой физической величины  называется разница между этим измерением и истинным значением  измеряемой физической величины, т.е.

(1.1).

По своему характеру погрешности делятся на два класса:

— грубые,

— неизбежные.

Грубые погрешности – это результат просчета во время измерений. Например, просчет на длину ленты при измерении расстояний или же на один сантиметр (дециметр) в отсчете по нивелирной рейке.

Неизбежные погрешности также в свою очередь делятся на два вида:

— систематические;

— случайные.

Систематические погрешности наиболее нежелательные при измерениях, потому что они имеют свойство накапливаться, существенно искажая результаты измерений. Поэтому всегда выбирают такую методику измерений, которая исключает систематические погрешности. Например, измеряя горизонтальный угол при двух положениях вертикального круга, исключают коллимационную погрешность теодолита. И т.д. Систематические погрешности будем обозначать через .

Случайные погрешности потому так и называются, что нельзя заранее предусмотреть в каждом конкретном случае измерений их величину и знак. Однако при многократных измерениях случайные погрешности подчиняются некоторым статистическим закономерностям, изучение которых позволяет существенно уменьшить их влияние на результаты измерений. Случайные погрешности будем обозначать через .

Истинная погрешность  есть сумма случайной  и систематической  составляющих погрешности, т.е.

(1.2)

1.2. Среднее квадратическое отклонение случайной величины X

Среднее квадратическое отклонение или стандарт  (сокращенно СКО) случайной величины  — это мера рассеивания или разбросанности значений случайной величины  относительно ее истинного значения .

Применительно к измерениям случайная величина  это не что иное, как измеренное значение  некоторой физической величины , а  — это ее истинное значение . Тогда разность или  — это отклонение измеренного значения измеряемой величины от ее истинного значения. Ранее было отмечено, что такое отклонение называется истинной погрешностью  измеряемой величины.

В теории математической обработки геодезических измерений (сокращенно ТМОГИ) стандарт называется средней квадратической погрешностью (сокращенно СКП) измеряемой величины и обозначается буквой  [2].

В случае присутствия в результатах измерений только случайных погрешностей  или, что то же самое, в случае отсутствия в измерениях систематических погрешностей , средняя квадратическая погрешность  вычисляется по формуле К.Ф. Гаусса

, (1.3)

где  — это количество значений измеренной величины или, иначе, количество суммируемых истинных погрешностей .

Средняя квадратическая погрешность зависит от числа  значений случайных погрешностей , просуммированных в формуле (1.3), однако при  ее значение практически не меняется с ростом числа , и ее можно принимать за количественный показатель условий измерений.

Измерения, которые имеют одинаковые средние квадратические погрешности , называются равноточными.

1.3. Нормальный закон распределения случайной величины

Если взять достаточно большой ряд случайных значений какой-либо величины, то можно заметить, что некоторые из них встречаются чаще, а некоторые реже. Т.е. вероятности появления тех или иных случайных значений подчиняются некоторым закономерностям или, говорят, имеют некоторый закон распределения вероятностей. В общем случае значения различных случайных величин могут подчиняться различным законам распределения вероятностей появления этих значений. Наиболее распространенным из них является нормальный закон распределения.

Нормальное распределение, называемое также распределением Гаусса, — это распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно вфизике, геодезии, астрономии. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Случайные погрешности измеряемых величин также подчиняются нормальному закону распределения. Функция плотности вероятности нормального закона распределения имеет вид

(1.4)

где  — это так называемое математическое ожидание случайной величины .

Применительно к погрешностям, которые рассматривались в 1.1 и 1.2,  — это истинная погрешность  результата измерения  — это систематическая составляющая  погрешности , а разность  — это не что иное, как случайная погрешность .

Случайная величина  называется центрированной нормированной случайной величиной. Математическое ожидание этой величины равно , а стандарт, или среднее квадратическое отклонение, равен .

На рис. 1 показан график функции плотности вероятности нормального закона распределения.

Площадь фигуры, ограниченная сверху самой кривой, снизу — осью , а слева и справа вертикальными линиями с координатами  и  численно равна вероятности того, что измеренное значение случайной величины находится в интервале от  до . Для значений  указанные вероятности будут составлять:

На основании этого можно сделать вывод, что для любых измерений всегда существует предельная или допустимая погрешность  измеряемой величины, которую можно связать со средней квадратической погрешностью следующим соотношением:

, (1.5)

где — некоторая постоянная

Рис. 1. График функции плотности вероятности нормального закона распределения

Многолетняя практика геодезических измерений показала, что параметр  в зависимости от решаемой задачи, следует принимать равным 2 или 3. Поэтому предельную случайную погрешность измерения принимают равной удвоенной или утроенной средней квадратической погрешности

, (1.6)

или

. (1.7)

В общем случае точность измерений будет характеризоваться неравенствами

. (1.8)

    Скачать с Depositfiles