Простая арифметическая середина. СКП отклонений от арифметической середины. СКП арифметической середины. Понятие о весе. Общая арифметическая середина. СКП единицы веса. СКП общей арифметической середины

    Скачать с Depositfiles 

              1.4. Простая арифметическая середина

Если  — ряд независимых результатов равноточных измерений одной и той же величины , то за наилучшее приближение к этой измеренной величине принимают простую арифметическую середину

(1.9)

называемую иначе средним арифметическим.

1.5. Средняя квадратическая погрешность отклонений от арифметической середины

Отклонение от арифметической середины характеризует меру влияния случайных погрешностей на результаты измерений. Среднее квадратическое значение случайной погрешности одного измерения определяется по формуле Бесселя:

, (1.10)

где — число равноточных измерений;

 — отклонение от арифметической середины, вычисляемое как

               , . (1.11)

 — -е значение измеренной величины;

 — значение арифметической середины (среднее арифметическое).

.

1.6. Средняя квадратическая погрешность арифметической середины

 

Средняя квадратическая погрешность  арифметической середины независимых равноточных результатов измерений вычисляется по формуле:

 (1.12)

Из всех возможных способов вычисления наилучшего приближения измеряемой величины арифметическая середина независимых равноточных результатов измерений имеет минимальную среднюю квадратическую погрешность .

1.7. Средняя квадратическая погрешность функции  измеренных величин

В практических расчетах и теоретических исследованиях возникает необходимость оценить точность функции, если точность ее аргументов известна.

Пусть в общем случае функция имеет вид

. (1.13)

Если погрешности аргументов малы, то  — средняя квадратическая погрешность функции , — вычисляется по следующей формуле

, (1.14)

где — частные производные функции , вычисленные для измеренных значений аргументов,

 — средние квадратические погрешности соответствующих аргументов.

1.8. Понятие о весе

В практике геодезических измерений имеют место случаи, когда одна и та же величина измеряется несколько раз, но неравноточно, т.е. измерения имеют разные средние квадратические погрешности .

Как сопоставить между собой результаты таких измерений ?

За специальную меру соотношения точности неравноточных измерений принята величина, которая называется весом.

Вес – это специальная характеристика относительной точности результатов измерений и их функций, вычисляемая как величина, обратно пропорциональная квадратам средних квадратических погрешностей. Обозначается вес буквой .

Пусть измерения  имеют соответственно следующие средние квадратические погрешности . Тогда веса , характеризующие их относительную точность, определятся следующими соотношениями

(1.15)

где  — общий коэффициент пропорциональности, или, что хорошо видно из соотношения (1.15),  — это средняя квадратическая погрешность измерения, вес которого равен единице ().

1.9. Общая арифметическая середина

При неравноточных измерениях в качестве наилучшего приближения к искомой величине  принимают общую арифметическую середину , которая вычисляется по формуле:

, (1.16)

и которая называется иначе средневзвешенным.

Вес общей арифметической середины равен сумме весов всех измерений, по которым вычисляется средневзвешенное, т.е. равен , знаменателю (1.16).

1.10. Средняя квадратическая погрешность единицы веса

Средняя квадратическая погрешность измерения с весом  называется средней квадратической погрешностью единицы веса и обозначается через . Значение средней квадратической погрешности единицы веса может быть вычислено по формуле:

, (1.17)

где — число измерений;

 — отклонение от средневзвешенного, вычисляемое как

        , (1.18)

 — -е значение измеряемой величины;

 — вес -го значения измеряемой величины;

 — значение общей арифметической середины (средневзвешенное).

Формула (1.17) дает надежное значение средней квадратической погрешности единице веса  при .

1.11. Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины

Средняя квадратическая погрешность  общей арифметической середины определяется по формуле:

. (1.19)

Поскольку  – это вес средневзвешенного , то введя обозначение

, (1.20)

формулу (1.19) для средней квадратической погрешности  общей арифметической середины можно записать как

(1.21)

1.12. Выражение средней квадратической погрешности измеряемой величины через среднюю квадратическую погрешность единицы веса  и вес 

       Если известны средняя квадратическая погрешность единицы веса  и вес  измерениято средняя квадратическая погрешность  измерения вычисляется как

(1.22)

Формула (1.22) следует из определения веса, задаваемого формулой (1.15).

    Скачать с Depositfiles