Уравнивание одиночного нивелирного хода

    Скачать с Depositfiles 

3. Уравнивание одиночного нивелирного хода

Между реперами  и  с известными высотами (отметками)  и  длиной  проложен нивелирный ход из  секций, каждая из которых состоит из  станций. Всего нивелирный ход насчитывает  станций. Измеренные превышения по секции равны . Необходимо произвести уравнивание измеренных превышений и вычислить высоты промежуточных реперов, а также оценить точность измеренных превышений и уравненных высот.

Рис. 2. Схема одиночного нивелирного хода

      Возьмем произвольный промежуточный репер , отстоящий от репера  на расстоянии  секций.       Высоту  репера  можно вычислить дважды – от репера  и от репера . В общем случае, вследствие наличия в превышениях неизбежных случайных погрешностей вместо одного значения высоты репера  будет два различающихся между собой значения  и 

(3.1)

(3.2)

Кроме того, высоты  и  будут между собой неравноточны, поскольку получены по сумме превышений, измеренных по двум разным звеньям хода: от репера  и от репера .

Поставим задачу: определить веса  и .

Из определения веса, формула (1.15), следует, что

, (3.3)

, (3.4)

      где  и  – средние квадратические погрешности значений  и высоты репера , полученных из звена  и звена  (звено – это часть линии, состоящая из одной или нескольких секций); – средняя квадратическая погрешность единицы веса.

Для средних квадратических погрешностей значений высот  и  на основании (1.14) можно написать следующие соотношения:

(3.5)

(3.6)

      где  – средняя квадратическая погрешность определения превышения по –й секции.

Формулы (3.5) и (3.6) получаются, если к выражениям (3.1) и (3.2), рассматриваемым как функции измеренных величин , применить формулу (1.14), по которой вычисляется средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин.

Средние квадратические погрешности определения превышения по –й секции можно определить аналогичным образом:

(3.7)

где  — средняя квадратическая погрешность определения превышения на -й станции -й секции.

Тогда, подставив (3.7) в (3.5) и (3.6), получим

, (3.8)

. (3.9)

Методика измерений в нивелирных ходах III и IV классов, установленная действующей «Инструкцией по нивелированию IIIIII и IV классов» [2], требует, чтобы измерения на станциях в нивелирных ходах одного класса выполнялись равноточно. Это означает, что все средние квадратические погрешности определения превышений на станциях  будут приблизительно равны между собой, что позволяет вместо  записывать просто . Т.е.

(3.10)

Символы двойных сумм в (3.8) и (3.9) означают, что суммирование проводится по количеству станций во всем звене. В звене  от репера  до репера  насчитывается  станций, а в звене  от репера  до репера  —  станций, т.е.:

, (3.11)

. (3.12)

На основании всего вышесказанного выражения (3.8) и (3.9) после небольших преобразований можно переписать как

(3.13)

(3.14)

      Приняв теперь значение средней квадратической погрешности единицы веса  получим

(3.15)

(3.16)

      Это означает, что вес высоты промежуточного репера обратно пропорционален числу станций от исходного до промежуточного репера., высота которого определяется.

      Из двух значений  и  высоты репера  с разными весами  и  можно получить наиболее надежное значение  как средневзвешенное из известных значений. Для этого воспользуемся формулой средневзвешенного (1.16):

(3.17)

      Преобразуем формулу (3.17). Вычтем из значения , определенного по формуле (3.1) , значение , определенное по формуле (3.2):

(3.18)

Но правая часть (3.18) есть не что иное как невязка :

(3.19)

Тогда на основании (3.18) и (3.19) можно записать

 

(3.20)

Откуда

(3.21)

Подставив (3.21) в (3.17) после преобразования получим:

(3.22)

Далее подставив в (3.22) веса из (3.15) и (3.16) получим с учетом (3.1)

(3.23)

Поскольку первоначально рассматривался произвольно взятый промежуточный репер, то формулу (3.23) можно распространить на определение высоты любого промежуточного репера.

На основании этого можно записать выражение (3.23) и для конечного репера :

(3.24)

Если учесть, что , то выражение (3.24) есть не что иное как ранее записанное видоизмененное выражение (3.19).

Разобьем второе и третье слагаемые в правой части (3.24) также на слагаемые, из которых первое слагаемое будет относиться к первой секции, а второе – ко всем остальным по ходу секциям, т.е.:

(3.25)

(3.26)

 

 
 
 
Скачать с Depositfiles