Оценка точности полевых измерений при нивелировании III класса

    Скачать с Depositfiles 

4. Оценка точности полевых измерений при нивелировании III класса

Точность полевых измерений при нивелировании III класса оценивается средней квадратической погрешностью определения среднего превышения на 1 км двойного хода  [2]. Термин «двойной ход» означает, что речь идет о ходе, проложенном в прямом и обратном направлениях. Действительно, согласно инструкции [2] все нивелирные ходы III класса, в отличие от нивелирных ходов IV класса и технического нивелирования, должны прокладываться в прямом и обратном направлениях, что и дает в результате два одинарных хода, которые называют также двойным ходом. В таких ходах всегда можно вычислить среднее превышение как по всему ходу, так и по секциям, из которых состоит ход, поскольку в них есть одно превышение из прямого хода и одно – из обратного. Кроме этого, по разностям превышений в секциях можно оценить точность полевых измерений, т.е. вычислить среднюю квадратическую погрешность определения среднего превышения на 1 км двойного хода.

При нивелировании IV класса и в техническом нивелировании ходы прокладываются только в одном направлении. Такие ходы называются одинарными.

Поэтому когда говорят о точности определения превышения на 1 км хода с уточнениями «двойного хода» или «среднего превышения», это означает, что речь идет о нивелировании IIIкласса. Если использовано выражение «среднего превышения», то дальше можно уже не говорить «двойного хода», поскольку среднее превышение может быть только тогда, когда есть минимум два превышения: прямое и обратное, а это уже означает, что ход двойной. Аналогичным образом, если использовано выражение «двойного хода», то можно не говорить о «среднем превышении», поскольку двойной ход подразумевает прокладывание хода в прямом и обратном направлении и, как следствие, обязательное вычисление среднего превышения.

Кроме указанного показателя, существует показатель, название которого очень похоже на название первого показателя. Этот показатель называется средняя квадратическая погрешность определения превышения на 1 км одинарного хода и обозначается . Он характеризует точность определения превышений на 1 км хода в тех ходах, которые проложены только в одном направлении, т.е. характеризует точность одинарного хода. Однако вычислить значение  из одинарного хода не представляется возможным, поскольку в одинарном ходе нет избыточных данных, по которым мог бы быть вычислен указанный показатель. Точность определения превышения на 1 км одинарного хода может быть оценена только по результатам уравнивания системы нивелирных ходов.

Между обоими показателями —  и  — существует связь: первый из них в раз меньше, чем второй, т.е.

(4.1)

В геодезической литературе, к сожалению, не всегда четко соблюдается правильное наименование указанных показателей точности полевых работ. Зачастую пишется просто «средняя квадратическая погрешность определения превышения на 1 км нивелирного хода» без уточнения о каком превышении или каком ходе идет речь. Поэтому всегда надо обращать внимание в каком контексте используется этот термин. И исходя из контекста уже решать вопрос, что понимается под данным термином в тексте.

Еще один терминологический момент связан с понятиями одиночный и одинарный нивелирный ход.

Выше мы уже выяснили, что ходы могут быть одинарными, т.е. проложенными в одном направлении, и двойными, т.е. проложенными в прямом и обратном направлениях. Как прокладывать ходы, то ли в одном направлении, то ли в прямом и обратном, это вопросы, относящиеся к методике измерений.

Термин одиночный означает совсем иное. Он характеризует топологию сети, т.е. как, по какой схеме связаны вершины сети друг с другом.. Одиночный означает, что этот ход никак не связан с другими ходами. Если же есть несколько связанных между собой нивелирных ходов, т.е. ходов, у которых есть общие точки, то система таких ходов называется сетью. Таким образом с топологической точки зрения различают, с одной стороны — одиночные ходы, с другой — системы нивелирных ходов или сети.

Поэтому термины «одиночный» и «одинарный», несмотря на общий корень, имеют совершенно разный смысл.

Рассмотрение вопроса оценки точности полевых измерений начнем с вычисления средней квадратической погрешности определения превышения на 1 км одинарного хода , а затем, получив это значение, вычислим показатель .

В одиночном нивелирном ходе III класса есть только одно избыточное измерение. Этого одного измерения явно недостаточно, чтобы оценить точность полевых измерений: среднюю квадратическую погрешность определения превышения  на 1 км хода. Но нивелирный ход, как правило, состоит из секций, в каждой из которых есть одно избыточное измерение. Поэтому, если рассматривать одиночный ход на уровне секций, то получится не одно, а несколько избыточных измерений, число которых будет равно числу секций в ходе. Выше отмечалось, что под измерением в секции понимается превышение по секции. Поскольку ход III класса прокладывается в двух направлениях, то в каждой секции будет получено два измерения (превышения), одно из которых будет необходимым, а второе избыточным. Это позволяет выполнить оценку точности полевых измерений по разностям двойных измерений [3]. Такими двойными измерениями будут превышения в каждой секции в прямом  и обратном  направлениях.

Пусть нивелирный ход III класса проложен в прямом и обратном направлениях и состоит из  секций. В результате будем иметь  пар двойных измерений превышений:

, (4.2)

при этом условимся, что превышения в обратном ходе будем брать со знаком прямого хода.

Каждой –й паре соответствует истинное значение превышения , связанное с измеренными превышениями следующими соотношениями (см. формулу (1.1)):

(4.3)

либо, перегруппировав переменные,

(4.4)

Вычислим разность превышений в –й секции :

(4.5)

Из (4.5) видно, что разность  есть алгебраическая сумма истинных погрешностей измерений. Обозначим эту сумму через :

, (4.6)

Тогда можно сказать, что величина  есть истинная погрешность разности .

Длины секций в нивелирном ходе отличаются друг от друга. Вследствие этого будут отличаться и веса превышений по секциям, а, следовательно, каждой разности будет соответствовать свой вес . Т.е. мы будем иметь дело с  неравноточными измерениями.

Определим веса  разностей .

Рассматривая величину  как линейную функцию измерений (формулы (1.13)–(1.14) и (4.5)), получим

, (4.7)

где – средняя квадратическая погрешность разности ;

– средняя квадратическая погрешность определения превышения  в одном направлении, т.е. либо в прямом, либо в обратном, но ни в коем случае не среднего превышения, полученного из прямого и обратного хода.

Ранее было показано, что величину можно выразить как

(4.8)

где – длина секции в км;

– средняя квадратическая погрешность определения превышения на 1 км одинарного нивелирного хода (напомним, что термин «одинарного» указывает на то, что показатель относится к превышениям, измеренным только в одном направлении).

На основании этого можно записать

(4.9)

Отсюда, принимая , вес  разности  будет равен

(4.10)

Из теории математической обработки геодезических измерений [3] известно, что если есть ряд из  истинных погрешностей  с весом , то средняя квадратическая погрешность единицы веса  может быть вычислена по формуле:

(4.11)

Подставив в (4.11) вес  из (4.10) после несложных преобразований получим:

(4.13)

Но величина  характеризует точность измерения превышений только в одном направлении. Если же ход проложен в прямом и обратном направлениях и превышения по секции определяются как среднее арифметическое из превышений в прямом и обратном направлениях, как это и делается при нивелировании III класса, то точность среднего значения превышения будет в  раз больше, чем в одном направлении (формула (1.12)).

Это следует из того, что среднее превышение получается как среднее арифметическое из превышений в прямом и обратном направлениях при условии, что знаки превышений приведены к одному направлению. Тогда рассматривая среднее арифметическое (1.9) как функцию превышений и применяя к нему правило (1.14) при двух превышениях получим, что средняя квадратическая погрешность среднего превышения в  раз меньше средней квадратической погрешности одного превышения.

Все вышесказанное можно записать как

(4.14)

Подставив теперь формулу (4.13 в (4.14), получим

(4.15)

При приблизительно равных длинах секций , что бывает в равнинной местности, можно считать, что

, (4.16)

а сумма длин секций равна длине всего хода, т.е.

(4.17)

С учетом (4.17) получим:

(4.18)

Таким образом, мы получили две формулы для вычисления показателя точности полевых работ в одиночном нивелирном ходе III класса – средней квадратической погрешности определения среднего превышения на 1 км двойного хода . Из них формула (4.15) является основной, а формула (4.18) – контрольной. В тех случаях, когда длины секций в ходе сильно отличаются друг от друга, значение величины , полученное по формуле (4.18) может несколько отличаться от значения, полученного по основной формуле (4.15). Однако, в целом значения получаются достаточно близкими друг к другу, что позволяет контролировать правильность вычисления значения .

Список ссылок

1. Геодезія. Частина перша. Підручник. 3-є вид., виправл. та доп./За заг. Ред. Могильного С.Г. і Гавриленка Ю.М. Донецьк: Технопарк ДонНТУ «УНІТЕХ». 2009.-514с.

2. Инструкция по нивелированию IIIIII и IVклассов/ Главное управление геодезии и картографии при Совете Министров СССР. – М,: Недра, 1990.–167с.: ил.

3. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. Изд. 2, перераб. и доп. М., «Недра», 1977. 367 с.

    Скачать с Depositfiles