Оценка точности уравненных значений высот реперов в одиночном нивелирном ходе. Определение наиболее слабого места одиночного нивелирного хода

    Скачать с Depositfiles 

5. Оценка точности уравненных значений высот реперов в одиночном нивелирном ходе

Выше было показано, что наиболее надежное значение высоты любого промежуточного репера в одиночном нивелирном ходе определяется как средневзвешенное из значений высоты, полученной из двух звеньев, одно из которых берет начало от начального репера, а второе – от конечного (формула (3.17)). Также было показано, что средняя квадратическая погрешность средневзвешенного определяется по формулам (1.19) или (1.20), которые применительно к уравниванию одиночного нивелирного хода принимают следующий вид

 , (5.1)

где  — вес средневзвешенного значения высоты репера .

Если принять , то формулу (5.1) можно переписать как

(5.2)

Вес наиболее надежного значения высоты репера согласно (3.17) равен

(5.3)

Тогда для случая, когда в учет принимается количество станций, с учетом (3.15) – (3.16) будем иметь

, (5.4)

а для случая, когда в учет принимаются длины секций, с учетом (3.41)-(3.42) будем иметь

(5.5)

Формула (5.2) в сочетании с формулами (5.3)-(5.5) является основной формулой для оценки точности уравненных значений отметок промежуточных реперов в одиночном нивелирном ходе.

6. Определение наиболее слабого места одиночного

нивелирного хода

       Формулы (5.3)–(5.5) показывает, что при данном количестве станций  или длине хода  вес  изменяется с изменением величины  или . С изменением веса в соответствии с формулой (5.2) будет меняться и средняя квадратическая погрешность уравненных высот промежуточных реперов. Это означает, что высоты реперов будут получены с разной точностью. Наименее надежный результат будет тот, для которого вес  будет минимальным. Минимуму  соответствует максимум знаменателя в (5.4) или в (5.5), т.е. максимум выражения

(6.1)

или

. (6.2)

      Для отыскания значений  или , при которых выражения (6.1) или (6.2) принимают максимум, необходимо решить задачу на поиск экстремума. Для этого надо продифференцировать выражение (6.1) по , а выражение (6.2) по , и полученные выражения приравнять к нулю. В результате получим:

(6.3)

и

(6.4)

Отсюда:

(6.5)

либо

(6.6)

     Следовательно, наиболее слабым местом уравненного одиночного нивелирного хода является его середина.

       Вес высоты репера, расположенного в середине хода, после уравнивания на основании формул (5.4)–(5.5) и (6.5)–(6.6) будет равен:

(6.7)

либо

, (6.8)

а средняя квадратическая погрешность согласно формуле (5.2):

(6.9)

либо

(6.10)

     Формулы (6.9) и (6.10) показывают, что после уравнивания погрешность высоты репера в наиболее слабом месте нивелирного хода будет в среднем в два раза меньше, чем погрешность высоты конечного репера нивелирного хода до уравнивания.

       На рис. 3 показан график зависимости средней квадратической погрешности высот реперов нивелирного хода в зависимости от положения репера в ходе.

Рис. 3 – Графики зависимости средних квадратических погрешностей  отметок реперов от положения репера в нивелирном ходе

    Скачать с Depositfiles