Привязка точек в полигонометрии. Прямая однократная засечка. Оценка точности положения пункта, определенного прямой однократной засечкой

    Скачать с Depositfiles 

           3 Привязка точек в полигонометрии

 

     Привязка полигонометрии к пунктам более высоких по классу или разряду геодезических построений производится для определения координат пунктов полигонометрического хода и для передачи направлений на стороны хода.

     Привязку полигонометрии к пунктам геодезической сети можно произвести различными способами в зависимости от расположения этих пунктов по отношению к пунктам полигонометрии.

     Для привязки хода необходимо иметь координаты начала и конца хода и дирекционные углы начальной и конечной сторон хода. Наиболее распространенный способ привязки – это непосредственное примыкание полигонометрического хода к пункту триангуляции или полигонометрии высшего класса (рис. 4). В этом случае на пунктах  и  измеряют примычные углы  и расстояния  и 

Рисунок 4 – Классическая схема привязки одиночного хода полигонометрии

Этот способ привязки дает надежный контроль, так как разность примычных углов  и бэтта»1,  и бэтта»n+1 теоретически должна равняться разности дирекционных углов  и альфа» н,  и альфа» к . На практике контролируют соблюдение неравенства

,

где величина  согласно инструкции [ ] не должна превышать: в полигонометрии 4 класса 6», 1 разряда – 10», 2 разряда – 20».

Если же на практике осуществить этот способ не представляется возможным, например, исходный пункт – это шпиль башни или исходный пункт расположен очень далеко, то в этом случае применяют более сложные способы, которые можно разделить на две группы.

1. Привязка к близлежащем пункту или, так называемая, задача «снесения координат с вершины пункта на землю».

2. Привязка к отдаленным пунктам методами:

а) прямой и обратной многократной засечки;

б) определение координат двух точек по двум данным (задача Ганзена).

     Рассмотрение вопроса привязки полигонометрии к геодезической сети более высокого класса или разряда начнем с вариантов привязки к отдаленным пунктам методами сначала прямой, а затем и обратной многократной засечек.

     Известно, что координаты пункта могут быть определены прямой и комбинированной засечками с двух исходных пунктов или обратной засечкой по трем исходным пунктам. В этих случаях координаты пункта будут получены по необходимому числу исходных пунктов и измеренных величин.

Засечки, в которых используется необходимое число пунктов и измеренных величин, называются однократными. Координаты, определенные из однократных засечек, будут бесконтрольными как величины, определенные только по необходимому числу измеренных величин.

Для того чтобы иметь контроль правильности определения координат, найденных из засечек, необходимо использовать избыточные пункты и произвести измерение избыточных величин.

Засечки, в которых для получения координат пункта используют избыточное число пунктов и измеренных величин, называют многократными.

Прямой угловой многократной засечкой называется определение положения пункта путем измерения углов или направлений на определяемый пункт не менее чем с трех пунктов, координаты которых известны.

Обратной угловой многократной засечкой называется определение положения пункта путем измерения углов или направлений на определяемом пункте не менее чем на четырепункта, координаты которых известны.

Наличие избыточно измеренных величин в многократных засечках приводит к уравнительным вычислениям.

     Для решения задачи определения координат пункта методом прямой многократной засечки необходимо первоначально рассмотреть прямую однократную засечку и дифференциальные формулы дирекционного угла.

4 Прямая однократная засечка. Оценка точности положения пункта, определенного прямой однократной засечкой

На рис. 5 изображена схема прямой однократной засечки для случая, когда между исходными пунктами  и  есть прямая видимость. Пункт  определяемый. На пунктах  и измерены соответствующие данным вершинам внутренние углы треугольника .

Рисунок 5 – Схема определения координат пункта 

методом прямой однократной засечки (по Юнгу)

Обозначим координаты исходных пунктов  и  через , а определяемого пункта  через .

Из рис. 5 следует, что

 

(4.1)

Дирекционный угол  можно определить как разность углов

(4.2)

Угол  может быть найден из решения обратной геодезической задачи по координатам исходных пунктов  и .

Подстановка (4.2) в (4.1) дает

(4.3)

или

(4.4)

 

Запишем приращения координат  и  как

, (4.5)

откуда

(4.6)

 

Подставив теперь (4.6) в (4.4) получим

(4.7)

Из треугольника  следует, что

(4.8)

 

Умножив обе части равенства (4.8) на  получим

, (4.9)

а после деления числителя и знаменателя правой части (4.9) на  –

(4.10)

 

Подставив (4.10) в (4.7) после небольших преобразований получим

(4.11)

     Формулы (4.11) записаны относительно пункта . Аналогичным образом могут быть записаны формулы относительно пункта (Выведите эти формулы самостоятельно !!!)

     Формулы (4.11) часто представляются в несколько ином виде, а именно

(4.12)

Формулы (4.12) называются формулами котангенсов углов треугольника или формулами Юнга.

При использовании формул (4.12) необходимо при обозначении исходных данных и измеренных углов соблюдать определенный порядок: буквой  должен обозначаться определяемый пункт; буквой  — левый исходный пункт; буквой  — правый исходный пункт; если стоять на стороне  лицом к пункту , углы треугольника будут соответственно при точках  и .

Представляет интерес вопрос: с какой точностью определяются координаты точки . Не вдаваясь в подробности вывода отметим, что квадрат средней квадратической погрешностипункта  можно выразить как:

, (4.13)

     где  и  — средние квадратические погрешности измерения углов  и ;

 и — стороны треугольника , противолежащие внутренним углам  и  треугольника ;

 — внутренний угол треугольника  при вершине (углы и вершины обозначены одной и той же буквой);

 — число секунд в радиане; вообще-то в данном случае значение числа  надо брать соответствующим единицам измерения  и .

Поскольку углы  и  измеряются обычно равноточно, то можно записать , и далее, приняв обозначения  и , формулу (4.13) можно переписать в виде

(4.14)

Если теперь учесть, что

, (4.15)

то получим

(4.16)

     Формулы (4.14) и (4.16) показывают, что средняя квадратическая погрешность положения определяемого пункта увеличивается с удалением ее от исходных пунктов (с увеличением  и ) и увеличением базиса засечки . Анализ формул показывает, что наименьшая погрешность будет при прочих равных условиях в том случае, если угол засечки  будет близок к .

 

    Скачать с Depositfiles