Обратная однократная засечка. Формулы обратной однократной засечки

    Скачать с Depositfiles 

1. Обратная однократная засечка.

Обратной угловой засечкой называется определение положения пункта путем измерения углов или направлений на определяемом пункте не менее чем на три пункта, координаты которых известны.

В том случае, когда исходных пунктов всего лишь три, обратная угловая засечка называется однократной. В том случае, когда исходных пунктов более трех – обратная угловая засечка называется многократной.

Задача определения положения точки на плоскости по трем данным точкам обратной засечкой известна под названием задачи Потенота (Л.Потенот – французский математик; годы жизни 1660-1732 гг; в 1692 году предложил наиболее удачное аналитическое решение определения координат точки по трем известным точкам). Существует очень большое количество решений (более ста) этой задачи.

Из всех существующих способов решения рассмотрим решение по формулам Деламбра.

(Деламбр (Delambre) Жан Батист Жозеф (19.09.1749, Амьен, — 19.08.1822, Париж), французский астроном, геодезист и метролог. С 1792 член и с 1803 секретарь отделения математических наук Парижской АН. Совместно с П. Мешеном принимал (1792—97) участие в градусном измерении дуги меридиана от Дюнкерка до Барселоны, послужившем основанием для установления метрической системы мер. Д. вычислил таблицы видимых движений Солнца, больших планет и спутников Юпитера. Усовершенствовал методы астрономических вычислений. Написал 6-томную историю астрономии)

     При решении засечки по формулам Деламбра нумерация исходных пунктов, а также углов должна производиться по часовой стрелке, при этом для нумерации углов должно быть выбрано начальное направление.

На рис. 5.1 показана схема обратной однократной засечки применительно к формулам Деламбра. В качестве исходных здесь используются три пункта триангуляции  и . Пункт  – определяемый. Направление  выбрано за начальное и от этого направления на пункте  измерены углы  и  до направлений на пункты  и .

Рисунок 5.1 – Схема обратной однократной угловой засечки

Для решения задачи первоначально по формуле Деламбра (формула дается без вывода) определяют дирекционный угол начального направления , принятого за начальное:

 (5.1)

После определения дирекционного угла направления  вычисляют дирекционные углы направлений  и  по формулам:

(5.2)

(5.3)

В итоге получим прямую угловую засечку с известными дирекционными углами направлений с определяемого пункта  на исходные. В этом случае для определения координат пункта  достаточно использовать формулы Гаусса, выраженные через приращения координат исходных пунктов, а именно:

(5.4)

(5.5)

(5.6)

 (5.7)

Координаты определяемого пункта  вычисляют дважды, что позволяет контролировать процесс вычисления. Кроме того, повторно вычисляют дирекционный угол  по формуле:

(5.8)

Следует иметь в виду, что вычисленное по формуле (5.8) значение  может отличаться от значения угла , вычисленного по формуле (5.2), на , так как знаки числителя и знаменателя в формуле (5.1) не определяют знаки приращений координат  и . Для контроля вычисленного значения  следует определить знаки и четверти по карте, на которой составлен проект вставки пунктов обратными засечками.

Следует также иметь в виду, что обратная угловая засечка по трем исходным пунктам не имеет решения, если определяемый пункт располагается на одной с исходными пунктами окружности, которую в этом случае называют «опасной» (рис.5.2). Доказано, что удаление определяемого пункта от «опасной» окружности на , обеспечивает надежное определение планового положения искомого пункта, где  – радиус окружности.

При составлении на карте или плане схемы обратной засечки вставляемого пункта, очевидно, что если определяемый пункт находится внутри треугольника, в вершинах которого расположены исходные пункты, речи об «опасной» окружности быть не может.

В остальных случаях следует на карте или плане по правилам геометрии построить окружность, проходящую через три пункта, принимаемых за исходные. Тогда легко визуально определить область попадания определяемого пункта в «опасную» полосу.

Рисунок 5.2 – Схема «опасной» полосы в обратной засечке

    Скачать с Depositfiles