Обратная многократная засечка. Уравнивание по измеренным углам. Оценка точности положения пункта, определенного из обратной многократной засечки

    Скачать с Depositfiles 

2. Обратная многократная засечка. Уравнивание по измеренным углам

Пусть имеется пункт  с неизвестными плановыми координатами  и . С пункта  имеется видимость на пункты триангуляции , …, , .всего  исходный пункт, где . В этих условиях плановые координаты пункта  могут быть определены из обратной угловой засечки. Но поскольку количество исходных пунктов составляет более трех, т.е. имеются избыточно измеренные величины, то засечка в этом случае будет многократной и возникает задача уравнивания обратной многократной угловой засечки.

Будем считать, что при определяемой точке  измерено  углов , … ,  при визировании на  исходный пункт триангуляции. Каждый угол измерен отдельно.

Схема обратной многократной угловой засечки, соответствующей данному случаю, показана на рис. 5.1.

Рисунок 5.1 – Схема обратной многократной угловой засечки (по измеренным углам)

Как было отмечено ранее при рассмотрении вопроса уравнивания прямой многократной угловой засечки, наилучшим вариантом уравнивания применительно к засечкам является уравнивание по методу наименьших квадратов параметрическим способом.

Для этого неизвестные координаты  и  точки , которые в параметрическом способе носят название параметры, представляем в виде приближенных значений координат и поправок к ним  и :

(5.9)

Приближенные координаты пункта  могут быть определены из решения обратной однократной угловой засечки, например, по формулам Деламбра. Поправки к приближенным значениям находятся из уравнивания.

Первым этапом уравнительных вычислений является этап составления параметрических уравнений поправок, в которых измеренные величины представляются в виде функций выбранных неизвестных параметров. Для этого рассмотрим рисунок 5.4.

Рисунок 5.4 –

Здесь точка  – это приближенное положение определяемой точки, которому соответствуют координаты . Точка  с координатами – это окончательное или уравненное положение этой же точки. Углы  и  — приближенные дирекционные углы направлений  и , а  и – окончательные дирекционные углы тех же направлений; – приближенное значение измеренного угла – окончательное (уравненное) значение того же угла.

Уравненное значение измеренного угла  можно представить как измеренное значение плюс поправка, полученная из уравнивания,

, (5.10)

либо переписав,

(5.11)

Равенств вида (5.11) будет столько, сколько было измерено углов при точке .

Окончательное значение угла  можно выразить и иначе, через приближенное значение  и поправку к нему :

(5.12)

Подставив это значение угла  в формулу (5.11) получим

(5.13)

Разность между приближенным значением  и измеренным значением  угла  есть свободный член, который обозначается :

(5.14)

Выражение (5.13) можно теперь переписать в виде

(5.15)

Теперь нам необходимо выразить поправку  через поправки  и .Для этого выразим углы  и  через дирекционные углы  и :

(5.16)

или

(5.17)

и

(5.18)

Вычтя теперь из равенства (5.17) равенство (5.18) и обозначив

(5.19)

получим:

. (5.20)

Тогда уравнение (5.15) с учетом (5.20) примет вид

(5.21)

Поправки  и  могут быть найдены через дифференциальные формулы дирекционного угла

(5.22)

Тогда уравнение (5.21) может быть переписано в виде

(5.23)

Введя обозначения

(5.24)

получим окончательное выражение для параметрических уравнений поправок

(5.25)

Всего будет  таких параметрических уравнений поправок.

Будем решать систему таких уравнений под условием . В результате придем к двум нормальным уравнениям

(5.26)

Решая эти уравнения способом определителей получим

(5.27)

      Для получения уравненных значений координат определяемого пункта  найденные поправки  и  необходимо прибавить к приближенным значениям координат, т.е подставить их в формулы (5.9).

     Далее вычислив по формулам (5.25) значения поправок  и подставив их в формулы (5.10) получим уравненные значения углов , … ,  .

     Для заключительного контроля уравнивания найдем вторично уравненные значения измеренных углов  через дирекционные углы (формула (5.16)). Сами значения дирекционных углов найдем из решения обратных геодезических задач. Расхождения в дважды полученных значениях углов  не должны превышать точности вычислений.

3. Оценка точности положения пункта, определенного из обратной многократной засечки

Оценка точности уравнивания обратной многократной угловой засечки состоит из двух этапов: оценка точности полевых измерений и оценка точности уравненных величин.

Оценка точности полевых измерений выполняется точно также как и в прямой многократной угловой засечке. Для этого вычисляется средняя квадратическая погрешность измерения углов 

(5.28)

где  – поправки к измеренным значениям углов,

 – количество избыточно измеренных величин (избыточно измеренных углов);

 – общее число измеренных величин ( измеренных углов);

– необходимое количество измеренных величин (измеренных углов); для обратной многократной засечки .

Средние квадратические погрешности уравненных координат вычисляют по формулам

, (5.29)

где веса уравненных значений координат определяются из выражений

(5.30)

 

    Скачать с Depositfiles