Сущность коррелатного способа уравнивания

    Скачать с Depositfiles 

        2. Сущность коррелатного способа уравнивания

При уравнивании геодезических сетей коррелатным способом непосредственно уравниваемыми величинами являются измеренные величины, а определяемые элементы сети, каковыми являются, например, координаты пунктов, вычисляются затем как функции уравненных величин.

Пусть в геодезической сети измерено  величин , …, , из которых  величин являются избыточно измеренными. Следовательно число необходимых величин равно . Каждая избыточно измеренная величина в геодезической сети приводит к возникновению геометрического условия, которое порождает соответствующее условное уравнение

, (7.1)

где  – общее число измеренных величин;

, () – истинные значения измеренных величин.

Так, например, если в плоском треугольнике измерены все три угла, истинные значения которых равны , то один из углов является избыточным. Вследствие этого возникает условное уравнение следующего вида

. (7.2)

Аналогичным образом в ходе полигонометрии (рис. 3), проложенном между двумя жесткими пунктами с координатами  и двумя жесткими сторонами с дирекционными углами , в котором измерены левые горизонтальные углы  и горизонтальные проложения , имеется три избыточно измеренных величины.

Рис. 3 – Одиночный ход полигонометрии

Вследствие этого возникает три условных уравнения: одно условное уравнение дирекционных углов и два условных уравнения координат, все три которых имеют вид

(7.3)

(7.4)

(7.5)

Примечание 1. Здесь и далее символы и обозначения, используемые в примерах, примечаниях и математических комментариях к рассматриваемому в лекции вопросу не имеют ничего общего с совпадающими с ними по написанию символами и обозначениями, используемыми в основной части лекции!

Поскольку каждая избыточно измеренная величина приводит к возникновению условного уравнения вида (7.1), то  избыточно измеренных величин приведут к системе условных уравнений вида:

, ()(7.6)

где  – число избыточно измеренных величин

Примечание 2. Для краткости записей условимся не расписывать системы уравнений в виде отдельных уравнений, объединенных фигурной скобкой. Вместо этого будем записывать в общем виде только одно уравнение системы с одним или несколькими индексами, указывая при этом диапазон изменения индексов. Однако в тех случаях, когда без этого нельзя обойтись, будем расписывать систему уравнений полностью.

. Количество условных уравнений  всегда меньше, чем количество измеренных величин . Поскольку всегда , то можно составить несколько систем условных уравнений вида (7.6). Любая из этих систем после уравнивания по методу наименьших квадратов приведет к одним и тем же результатам, если при их составлении будут выполняться два условия:

1 – в систему (7.6) должны входить все измеренные величины; при этом не стоит понимать указанное условие так, что все  измеренных величин обязательно должны присутствовать в каждом условном уравнении; главное чтобы каждая из них хотя бы раз входила в какое-либо из уравнений системы; при выполнении этого условия, как следствие, все измеренные величины будут присутствовать в системе;

2 – система (7.6) должна быть независимой в том смысле, что ни одно ее уравнение не может быть получено совместными преобразованиями остальных, т.е. ни одно уравнение системы не должно быть линейной комбинацией никаких других уравнений этой же системы.

Несоблюдение указанных условий может привести в ходе дальнейшего уравнивания к появлению вырожденных систем уравнений, определитель которых окажется равным нулю, и, следовательно, совместно решать эти уравнения будет невозможно.

Целесообразно составлять условные уравнения наиболее простого вида, по возможности, с минимальным числом измеренных величин в каждом.

Подстановка в уравнения (7.6) вместо истинных значений () измеряемых величин их измеренных значений , приведет к нарушению геометрических условий, связывающих между собой измеряемые величины, в результате чего в правой части условных уравнений появятся ненулевые значения, называемые невязками условных уравнений::

, ()(7.7)

где  – невязка –го условного уравнения.

Цель уравнительных вычислений – вычисление таких поправок  в измеренные величины , при которых правые части уравнений (7.7) обратятся нули. Если такие поправки будут найдены, то система (7.7) примет вид

, () (7.8)

Величины  в этом случае принято называть уравненными значениями измеренных величин. Они не будут совпадать с истинными значениями . Однако при уравнивании по методу наименьших квадратов отклонения от истинных значений в совокупности будут минимальными из всех возможных вариантов совокупностей поправок.

Математика в общем случае не дает способа решения системы нелинейных уравнений произвольного вида. Поэтому прежде чем решать систему уравнений необходимо те из уравнений, которые являются нелинейными, привести к линейному виду.

Так например, в рассмотренных выше примерах, уравнения (7.2) и (7.3) являются линейными, а уравнения (7.4) и (7.5) – нелинейными. Более того, в последних двух уравнениях непосредственно измеренные угловые величины  не участвуют в явном виде. Вместо них в этих уравнениях участвуют дирекционные углы , которые, как известно, связаны с горизонтальными углами , т.е. являются функциями измеренных величин . Однако в уравнениях (7.4) и (7.5) эта связь пока что не видна. Следовательно, уравнения (7.4) и (7.5) предварительно должны быть приведены к линейному виду и при этом в них от дирекционных углов  необходимо перейти к измеренным углам . И только после приведения указанных уравнений к такому виду можно продолжать решение системы уравнений.

Как отмечено выше, левые части системы уравнений (7.8) в общем случае представляют собой нелинейные функции. Типовой прием приведения нелинейного уравнения к линейному виду заключается в разложении этой функции в ряд Тейлора в окрестности некоторой заданной точки, ограничиваясь при этом членами ряда первого порядка. Необходимыми условиями возможности разложения функции в ряд Тейлора являются требования, чтобы функция была непрерывной, имела производные, вплоть до  порядка, а окрестность точки была небольшой в том плане, чтобы она не содержала критических точек, которые могут привести к тому, что ряд не будет сходиться.

Следует отметить, что практически все функции, встречающиеся не только в геодезической, но и вообще в инженерной практике, разлагаются в ряд Тейлора [Зельдович].

Примечание 3. В общем случае разложение в ряд Тейлора выглядит следующим образом.

Для функции , имеющей все производные до  порядка включительно, в окрестности точки  (т.е. на некотором интервале, содержащем точку ) справедлива формула Тейлора:

(7.9)

где  – остаточный член разложения.

Для достаточно малых  с достаточной для практических нужд точностью можно ограничиться членом ряда первого порядка. Тогда формула (7.9) примет вид

(7.10)

Именно к такому виду, как (7.10), мы и будем приводить все нелинейные функции, возникающие при уравнивании геодезических сетей. При этом, как правило, под точкой  будет пониматься либо измеренное значение уравниваемой величины либо приближенное значение какой-то выбранной величины (параметра). Тогда разность  будет не что иное, как поправка  к измеренному значению величины или приближенному значению параметра. В этом случае формулу (7.10) можно переписать как

(7.11)

В том случае, когда функция  зависит от нескольких аргументов , то формула (7.11) будет выглядеть как

(7.12)

Применив указанный способ приведения к системе (7.8) получим следующую систему уравнений

, (7.13)

()

Введем обозначения

;;;. (7.14)

Тогда с учетом уравнений (7.7) систему (7.13) можно записать в виде

, ()(7.15)

Уравнения (7.15) называются условными уравнениями поправок. В сокращенном виде данную систему можно записать как

, ()(7.16)

а в матричном виде

(7.17)

В (7.17) составляющие матрицы соответственно равны

;;(7.18)

Система (7.16) неопределенная, так как в ней число уравнений  меньше числа неизвестных поправок  ( ). Это означает, что существует бесчисленное множество решений данной системы. Поэтому для отыскания однозначного и наилучшего решения этой системы, используют условие наименьших квадратов

, (7.19)

или в матричном виде

, (7.20)

         что означает отыскание условного экстремума функции. Эта задача решается методом неопределенных множителей Лагранжа, в результате которой задача об условном экстремуме переводится в задачу о поиске абсолютного экстремума. Для этого условие (7.19) совмещается с системой (7.16) в функции условного экстремума Лагранжа

(7.21)

В матричном виде функция Лагранжа имеет вид

, (7.22)

где  – вектор-строка, состоящий из коэффициентов , (), которые в уравнительных вычислениях называются коррелатами

Выражения в круглых скобках, стоящие в функции (7.21) или (7.22), в соответствии с (7.16) или (7.17) равны нулю. Таким образом функция Лагранжа (7.22) не нарушает условия (7.19) или (7.20).


    Скачать с Depositfiles