Сущность коррелатного способа уравнивания продолжение

    Скачать с Depositfiles 

 Сущность коррелатного способа уравнивания продолжение

 

Начало статьи расположено по ссылке: 

        Сущность коррелатного способа уравнивания

Примечание 4. Математическая формулировка этой задачи следующая.

Пусть требуется найти (условные) экстремумы функции  переменных

,(7.23)

если переменные , …,  не независимы, а подчиняются  () условиям:

(7.24)

Правило:

Для того чтобы найти точки, которые могут быть искомыми точками условного экстремума, нужно составить вспомогательную функцию

, (7.25)

в которой коэффициенты или параметры  () называются неопределенными множителями Лагранжа, и найти её стационарные точки, т.е. точки экстремума. Для этого первоначально необходимо найти частные производные от функции (7.23) по переменным , …,  и приравнять их к нулю. Полученные в результате уравнения

(7.26)

вместе с  условными уравнениями , …,  образуют систему  уравнений, из которой находятся значения  параметров , …,  и  координат , …,  возможных точек экстремума.

Примечание 5. В геодезической литературе в отличие от чисто математической функцию Лагранжа принято записывать в виде (7.21) или (7.22). Эта запись по внешнему виду отличается от математической записи вида (7.25) в части неопределенных множителей Лагранжа. В первом случае они имеют вид , (), а во втором просто , (). Однако внешний вид множителей и математический знак перед ними никоим образом не влияют на сущность функции. Мы можем записывать множители в каком угодно виде. Именно так и поступают в геодезической литературе. В теории математической обработки геодезических измерений выгодно использовать неопределенные множители именно в таком виде чисто из практических соображений. В этом случае упрощается внешний вид получаемых в дальнейшем коэффициентов линейных уравнений.

Для вычисления минимума функции  возьмем от нее частные производные по каждой поправке , () и приравняем их к нулю. В результате получим следующую систему уравнений, которая в развернутом виде будет выглядеть как

, (7.27)

(),

а в матричном как

(7.28)

        Дальнейшее изложение коррелатного способа уравнивания будем излагать в матричном виде, поскольку в матричном виде все получается короче и яснее. И лишь в тех случаях, когда это будет необходимо, будем использовать традиционный способ изложения.

Система (7.28) может быть переписана в виде

(7.29)

        Транспонируем левую и правую части выражения (7.29), учитывая при этом, что поскольку матрица  имеет диагональный вид, то . В результате получим

(7.30)

Примечание 6. При транспонировании произведения матриц имеет место соотношение

(7.31)

Из (7.30) следует, что

(7.32)

Обозначив матрицу  через , т.е. приняв

(7.33)

получим

(7.34)

Система (7.34) называется системой коррелатных уравнений поправок и в развернутом виде выглядит как

, (7.35)

       в которых  – обратные веса измерений.

       Система (7.34) содержит две группы неизвестных: вектор поправок и вектор коррелат . Поскольку одна группа неизвестных зависит от другой, а конкретно, вектор неизвестных поправок зависит от вектора неизвестных коррелат , то первоначально должны быть определены коррелаты.

      Для вычисления вектора коррелат  подставим вектор поправок из (7.34) в выражение (7.17). В результате получим

(7.36)

        Обозначив произведение матриц, стоящее перед вектором коррелат , через , т.е.

(7.37)

перепишем систему (7.36) в виде

(7.38)

 

       Система (7.38) называется системой нормальных уравнений коррелат, а матрица – матрицей коэффициентов нормальных уравнений коррелат. Система (7.38) является определенной, т.е. количество уравнений равно количеству неизвестных, и поэтому она совместна и имеет единственное решение.             Следует также заметить, что число нормальных уравнений в (7.38) равно числу избыточных измерений или числу условных уравнений (7.6).

        В развернутом виде система нормальных уравнений коррелат имеет следующий вид:

(7.39)

Вектор коррелат определяется из уравнения (7.38) как

(7.40)

или, учитывая (7.37)

(7.41)

Подставив теперь (7.41) в (7.34) получим

(7.42)

      Таким образом из приведенных выражений видно, что первоначально вычисляются коррелаты , после подстановки которых в уравнения (7.34) вычисляются поправки в измеренные величины. Зная теперь уравненные значения измеренных величин по ним можно вычислить уравненные значения любых функций измеренных величин. Такими функциями при уравнивании геодезических сетей могут быть координаты определяемых пунктов.

      Полный заключительный контроль уравнительных вычислений коррелатным способом состоит в подстановке уравненных значений измеряемых величин  в условные уравнения (7.8). Если после этой подстановки левые части уравнений (7.8) обращаются в нули (в пределах точности проводимых вычислений), то составление этих уравнений, вычисление коэффициентов условных уравнений поправок (7.16), определение невязок  и все дальнейшие преобразования выполнены правильно. Это надежный заключительный контроль уравнительных вычислений коррелатным способом. При параметрическом уравнивании такого контроля нет.

 

Начало статьи расположено по ссылке:    Сущность коррелатного способа уравнивания

 

    Скачать с Depositfiles