Накопление ошибок в полигонометрии

7.2 Накопление ошибок в полигонометрии

Измерение углов и длин линий в ходах полигонометрии производится с определенными ошибками, накопление которых приводит к возникновению угловых и линейных невязок (ошибок) ходов полигонометрии.

Угловая ошибка (невязка) хода.

В ходе полигонометрии любой формы (рис. 7.2) при известных исход

Рисунок 7.2 – Полигонометрический ход произвольной формы

ных дирекционных углах линий _н, _ê и измеренных углах ₁, ₂…_n+1 можно вычислить невязку в углах (угловую невязку) — _

 (7.3)

или

 (7.4)

По правилам теории ошибок можно из (7.4) вычислить среднюю квадратическую ошибку угловой невязки хода

Но так как углы измерены равноточно, то без учета ошибок исходных дирекционных углов.

 или , (7.5)

Величина, вычисленная по формуле (7.5), является средней квадратической ошибкой суммы углов (невязки) полигона.

Угловая невязка полигона (допустимая) равна предельному значению средней квадратической ошибки суммы углов, т.е.

, (7.6)

где m_ — средняя квадратическая ошибка измерения угла, устанавливается инструкцией в зависимости от класса (разряда) полигонометрии.

В формулах (7.5) и (7.6) не учтены ошибки дирекционных углов исходных сторон. С учетом ошибок дирекционных углов получим вместо (7.5)

При  получим

 (7.7)

 (7.8)

T. к.  зачастую неизвестна и она значительно меньше , то обычно пользуются формулами (7.5) и (7.6).

Линейная ошибка (невязка) хода.

Для простоты рассуждений рассмотрим вытянутый полигонометрический ход (рис. 7.3) с измеренными сторонами S₁, S₂…S_n.

Рисунок 7.3 – Вытянутый полигонометрический ход

            Средние квадратические ошибки измерения сторон равны , ….

Расстояние между крайними точками хода Т_н и Т_к (замыкающая хода) равно:

 (7.9)

Средняя квадратическая ошибка измерения всех линий (ошибка замыкающей) будет равна:

 (7.10)

Предельно допустимое значение m_L, которое устанавливается инструкцией, равнo 2m_L, т.е.

 (7.11)

Инструкцией устанавливается допустимая относительная ошибка хода равная

 (7.12)

 — задается инструкцией в зависимости от класса (разряда) полигонометрии.

Ошибка измерения длины линии  состоит из случайной m_Sслуч и систематической m_Sсист частей:

 (7.13)

Величина и структура ошибок m_Sсл, m_Sсист зависит от метода измерений линий; они будут совершенно разными при измерении линий светодальномером и инварной проволокой.

Если систематические ошибки при измерении длин отсутствуют, т.е.                                                                                       m_Sсист=0 то m_S=m_Sсл (7.14).

Обычно систематическим влиянием при измерении длин пренебрегают в том случае, если средняя квадратическая систематическая ошибка по своей величине не превышает 1/3 средней квадратической случайной ошибки.

Если принять

 (7.15),

то из (7.13) следует

 (7.16),

т.е. при пренебрежении систематической ошибкой значение m_S (сpедняя квадратическая ошибка длины) уменьшится всего лишь на 5%.

В этом случае можно считать, что

m_Sm_Sсл.