Решение сферического треугольника по теореме лежандра и способу аддитаментов

    Скачать с Depositfiles 

РЕШЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТЕОРЕМЕ

ЛЕЖАНДРА И СПОСОБУ АДДИТАМЕНТОВ

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:

Треугольник триангуляции 1-го класса

Широта

Долгота

Измеренный угол

А

47˚ 21′ 55.″557

37˚55′ 16.″480

51˚09′ 05.″39

В

47˚09′ 29.″168

37˚40′ 56.″179

73˚15′ 54.″59

С

 

 

55˚35′ 01.″06

 

ЗАДАНИЕ:

Определить координаты точки С.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

  1. При помощи программы Prima решаем обратную геодезическую задачу и определяем длину стороны с:

Таблица 1

Решение обратной геодезической задачи

B1

AАВ

B2

AВА

L1

Am

L2

SАВ

1

47˚21′ 55.″557

38˚01′ 54.″662

47˚ 09′29.″168

218˚ 12′ 26.″521

37˚ 55′16.″480

38˚ 07′10.″592

37˚ 40′56.″179

29299.345

2

 

 

 

2. Теорема Лежандра утверждает: если стороны плоского и сферического треугольника соответственно равны, то углы плоского треугольника равны углам сферического, уменьшенным на одну треть сферического избытка.

Если обозначить А, В, С углы сферического треугольника, полученные из измерений, а — сферический избыток и вычислить:

;

где

;

 (вычисляется по средней широте),

то А, В/, С/ есть углы плоского треугольника, стороны которого равны соответственно сторонам сферического треугольника.

Вычисление сферического избытка выполняется в таблице 2.

Таблица 2

Вычисление сферического избытка

Формула

Значения

А

В

С

29,299345

51о 09 05,″39

73о 15 54,″59

55о 35 01,″06

0.0025310

sinA

sinB

sin C

858.4516174

0.778807

0.957648

0.824952

1.97

3. Решение треугольника триангуляции по теореме Лежандра выполняется в таблице 3.

Стороны плоского треугольника вычисляем по теореме синусов, используя уравненные углы плоского треугольника и известную сторону.

4.Решим сферический треугольник по способу аддитаментов, принимая следующее утверждение:

если углы плоского треугольника равны соответствующим углам сферического, то стороны плоского треугольника меньше соответствующих сторон сферического на величину аддитамента.

Для сторон треугольников меньше 100 км аддитаменты вычисляются по формулам:

Аа=Ка3; Аb=Kb3Ac=Kc3;

K=1/6R2 (значение длин сторон берется в км, аддитаменты получаем в м).

Вычисления производим в таблице 4.

По известной стороне сферического треугольника находим аддитамент и сторону плоского треугольника: Sплоского=Sсферического-А.

Применяя теорему синусов, по известной стороне плоского треугольника и по углам находим значения недостающих сторон плоского треугольника. Вычисляем аддитаменты найденных сторон и определяем стороны сферического треугольника по формулам: Sсферического=Sплоского+А.

5. Вычисляем азимуты направлений АС и ВС, используя уравненные углы сферического треугольника и азимут направления АВ.

6. Используя программу Prima решаем прямую геодезическую задачу и вычисляем широту и долготу точки С от двух исходных точек (А и В).

Таблица 3

Решение треугольника триангуляции по теореме Лежандра

Вершина

Измеренные углы

сферического

треугольника

Поправка всферические углы

Уравненные углысферического треугольника

-ε/3

Углы плоского треугольника

Sin углов плоского треугольника

Противолежащиестороны

А

51о 09′ 05,″39

+0,″31

51о 09′ 05,″70

-0,″66

51о 09′ 05,″04

0.77880618

27660.442

В

73о 15′ 54,″59

+0,″31

73о 15′ 54,″90

-0,″66

73о 15′ 54,″24

0.957647115

34012.239

С

55о 35′ 01,06″

+0,″31

55о 35′ 01,37″

-0,″65

55о 35′ 00,″72

0.824951094

29299.345

Нашли по обр.задаче

180о 00′ 01,″04

+0,″93

 

+1,″97

180о 00′ 00″

 

 

 

ε″ 01,″97

fβ — 0,″ 93 fβ=∑β-(180+ε)

Таблица 4

Решение треугольника триангуляции по способу аддитаментов

Вершина

Уравненные углысферического треугольника

Sin углов сферического треугольника

Стороны плоскоготреугольника

А, м

Сторонысферического треугольника

 

А

51о 09′ 05,″70 (1)

0,778808187 (4)

27660,355 (11)

0,078 (13)

27660,442 (15)

 

В

73о 15′ 54,″90 (2)

0,957648034 (5)

34012,078 (10)

0,162 (12)

34012,240 (14)

 

С

55о 35′ 01,37″ (3)

0,824952875 (6)

29299,242 (9)

0,103 (8)

29299,345 (7)