РЕДУЦИРОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ТРИАНГУЛЯЦИИ
С ЭЛЛИПСОИДА НА ПЛОСКОСТЬ.
Для решения данной задачи должны быть известны:
-
геодезические координаты одной вершины треугольника;
-
азимут и длина одной его стороны на эллипсоиде;
-
измеренные направления (или углы) в треугольнике.
При выполнении этой работы исходными данными являются (табл. 1):
— геодезические координаты пункта А;
— длины сторон сферического треугольника;
— уравненные углы сферического треугольника.
Таблица 1.
Исходныеданные.
|
Вер- шина |
Уравненные сферические углы |
Стороны треуголь- ника на эллипсоиде |
Азимут |
Широта |
Долгота |
|
А |
42˚ 11′ 33.53″ |
|
|
|
|
|
|
|
27253.090 |
237˚12′ 14.13″ |
48˚49′36.128″ |
37˚ 28′ 16.729″ |
|
С |
68˚ 34′ 41.20″ |
|
|
|
|
|
|
|
19576.117 |
|
|
|
|
В |
69˚ 13′ 46.53″ |
|
|
|
|
|
|
|
27133.802 |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
Порядок выполнения работы
1. По геодезическим координатам (B, L) одной вершины треугольника, например А, вычисляются ее плоские прямоугольные координаты в шестиградусной зоне проекции Гаусса (х, у) и сближение меридианов — γ . Долгота осевого меридиана для задания равна 39˚. Тогда
хА= 5411577.954;
уА= -112244.391;
γ = -1˚ 09′ 02.862″.
Эти вычисления производятся с использованием программы решения задач сфероидической геодезии.
2. Вычисляют приближенное значение дирекционного угла стороны АС (табл.2) по формуле:
(1)
где А- азимут линии на эллипсоиде.
Таблица 2
Вычисление приближенного
дирекционного угла стороны АС.
|
А |
237˚12′ 14.13″ |
|
– γ |
+1˚ 09′ 02.862″ |
|
Т’ |
238˚ 21′ 16.99″ |
3. Вычисляют приближенное значение длины стороны АС на плоскости (табл.3) по формуле:
(2)
где ΔS‘ – поправка в длину, вычисляемая по координате уА:
(3)
где Rm – средний радиус кривизны, вычисляемый при помощи программы, по средней широте треугольника.
Таблица 3
Вычисление приближенной длины стороны АС на плоскости
|
уА |
–112244 |
|
Rm ( для В=48˚40′ ) |
6380944 |
|
ΔS’,м |
4,2 |
|
S,м |
27253 |
|
d’,м |
27257 |
4. Вычисляют приближенные длины сторон треугольника по теореме синусов (табл. 4):
(4)
Таблица 4
Вычисление приближенных длин сторон треугольника
|
Вершинытреугольника |
Углы на эллипсоиде |
Синусы углов |
Стороны наплоскости |
|
|
|
|
29151 |
|
В |
69˚ 13′ 46.53″ |
0.93501 |
27257 |
|
С |
68˚ 34′ 41.20″ |
0.93092 |
27138 |
|
А |
42˚ 11′ 33.53″ |
0.67162 |
19579 |
5. Вычисляют приближенные значения плоских прямоугольных координат, используя приближенные длины сторон, приближенный дирекционный угол исходной стороны и сферические углы (табл. 5).
Таблица 5.
Вычисление приближенных координат (до 1 м).
|
Порядок действий |
1 |
А |
А |
С |
|
2 |
С |
В |
В |
|
|
1 |
Т ‘12 |
238˚ 21′ 17″ |
280˚ 32′ 41″ |
349˚ 46′ 36″ |
|
10 |
Х2 |
5397277 |
5416544 |
5416545 |
|
8 |
Х1 |
5411578 |
5411578 |
5397277 |
|
6 |
ΔХ12 |
-14301 |
4966 |
19268 |
|
4 |
cos Т ‘12 |
-0.52466 |
0.18300 |
0.98412 |
|
2 |
d ‘12 |
27257 |
27138 |
19579 |
|
3 |
sin Т ‘12 |
-0.85131 |
-0.98311 |
-0.17748 |
|
5 |
ΔY12 |
-23204 |
-26680 |
-3475 |
|
7 |
Y1 |
-112244 |
-112244 |
-135448 |
|
9 |
Y2 |
-135448 |
-138924 |
-138923 |
-
Определяют поправки в измеренные направления за кривизну изображения геодезической линии δ»ik и поправки в длины за переход с эллипсоида на плоскость ΔSik, используя программу (табл. 6).
Таблица 6.
Ведомость поправок в направления и расстояния.
|
Вершина |
Координаты в км |
δ»12 |
δ»21 |
ΔS,м |
|
|
х |
y |
||||
|
А |
5411.578 |
-112.244 |
|
|
|
|
|
|
|
1.525 |
-1.636 |
5.275 |
|
В |
5416.544 |
-138.924 |
|
|
|
|
|
|
|
-6.722 |
6.666 |
4.524 |
|
С |
5397.277 |
-135.448 |
|
|
|
|
|
|
|
4.625 |
-4.344 |
5.148 |
|
А |
5411.578 |
-112.244 |
|
|
|
7. Поправки в углы за кривизну геодезической линии вычисляются как разность поправок в правое и левое направление (табл. 7):
(5)
Таблица 7.
Вычисление поправок в углы.
|
Вершина |
δ»П |
δ»Л |
Δ» |
Углы на эллипсоиде |
Углы на плоскости |
|
А |
1.525 |
-4.344 |
5.896 |
42˚ 11′ 33.53″ |
42˚ 11′ 39.40″ |
|
В |
-6.722 |
-1.636 |
-5.086 |
69˚ 13′ 46.53″ |
69˚ 13′ 41.44″ |
|
С |
4.625 |
6.666 |
-2.041 |
68˚ 34′ 41.20″ |
68˚ 34′ 39.16″ |
|
Σ |
|
|
-1.258 |
|
180˚ 00′ 00.00″ |
В качестве контроля вычислений служит равенство:
(6)
8. Вычисление точного значения исходного дирекционного угла (табл. 8) по формуле:
(7)
Таблица 8.
Вычисление точного значения дирекционного угла стороны АС
|
А |
237˚12′ 14.13″ |
|
– γ |
+1˚ 09′ 02.862″ |
|
δ»АС |
-4.34» |
|
Т’ |
238˚ 21′ 12.65″ |
9. Вычисляют значения длин сторон на плоскости (табл. 9):
Таблица 9.
Вычисление длин сторон треугольника на плоскости
|
Сторона |
Длина стороны на эллипсоиде, м |
ΔS,м |
Длина стороны на плоскости, м |
|
А-С |
27253.090 |
5.148 |
27258.238 |
|
В-С |
19576.117 |
4.524 |
19580.641 |
|
А-В |
27133.802 |
5.275 |
27139.077 |
10. Используя значение дирекционного угла стороны АС, плоские прямоугольные координаты пункта А, значения углов и длин сторон на плоскости решением прямых геодезических задач находят плоские прямоугольные координаты пунктов В и С (табл. 10). Координаты пункта В находят дважды.
Таблица 10.
Вычисление окончательных значений координат
|
Порядок действий |
1 |
А |
А |
С |
|
2 |
С |
В |
В |
|
|
1 |
α ‘12 |
238˚ 21′12.65″ |
280˚ 32′ 52.05″ |
349˚ 46′ 33.49″ |
|
10 |
Х2 |
5397276.190 |
5416545.914 |
5416545.915 |
|
8 |
Х1 |
5411577.954 |
5411577.954 |
5397276.190 |
|
6 |
ΔХ12 |
-14301.764 |
4967.960 |
19269.725 |
|
4 |
cos α ‘12 |
-0.524676769 |
0.183055616 |
0.984121249 |
|
2 |
d ‘12 |
27258.238 |
27139.077 |
19580.641 |
|
3 |
sin α ‘12 |
-0.851301525 |
-0.983102558 |
-0.177497508 |
|
5 |
ΔY12 |
-23204.980 |
-26680.496 |
-3475.515 |
|
7 |
Y1 |
-112244.391 |
-112244.391 |
-135449.371 |
|
9 |
Y2 |
-135449.371 |
-138924.887 |
-138924.886 |
11. Для контроля вычисляют плоские прямоугольные координаты пунктов В и С по геодезическим с использованием программы (табл. 11).
Таблица 11.
Вычисление плоских прямоугольных координат по геодезическим с использованием программы
|
Вершина |
Широта |
Долгота |
Долгота осевогомеридиана |
Х |
Y |
|
А |
48˚49′ 36.128″ |
37˚ 28′ 16.729″ |
39˚ |
5411577.954 |
-112244.391 |
|
В |
48˚51′ 57.458″ |
37˚ 06′ 23.216″ |
39˚ |
5416545.900 |
-138924.888 |
|
С |
48˚41′ 36.748″ |
37˚ 09′ 36.493″ |
39˚ |
5397276.192 |
-135449.381 |
12. Составляют сводку элементов треугольника на плоскости (табл. 12).
Таблица 12.
Сводка элементов треугольника на плоскости
|
Вершина |
Длины сторон, м |
Дирекционные углы |
Х |
Y |
|
А |
|
|
5411577.954 |
-112244.391 |
|
|
27139.077 |
280˚ 32′ 52.05″ |
|
|
|
В |
|
|
5416545.915 |
-138924.886 |
|
|
19580.641 |
169˚ 46′ 33.49″ |
|
|
|
С |
|
|
5397276.190 |
-135449.371 |
|
|
27258.238 |
58˚ 21′12.65″ |
|
|
13. С использованием программы вычисляют плоские прямоугольные координаты углов карты масштаба 1:10000, в которой находится точка А (табл. 13).
Таблица 13.
Вычисление плоских прямоугольных координат углов карты