МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра геоинформатики и геодезии
ОТЧЁТ
К лабораторной работе №6
РЕШЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТЕОРЕМЕ
ЛЕЖАНДРА И СПОСОБУ АДДИТАМЕНТОВ
Выполнила
Ст. гр.
Проверил
Ковалёв К.В.
г. Донецк – 2012
РЕШЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТЕОРЕМЕ
ЛЕЖАНДРА И СПОСОБУ АДДИТАМЕНТОВ
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:
Треугольник триангуляции 1-го класса
|
№ |
Широта |
Долгота |
Измеренный угол |
|
А |
61˚ 07′ 04.″316 |
36˚13′ 41.″189 |
58˚ 27′24.″57 |
|
В |
61˚ 09′07.″586 |
35˚ 45′20.″055 |
50˚ 37′19.″2 |
|
С |
|
|
70˚ 55′16.″12 |
ЗАДАНИЕ:
Определить координаты точки С.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1.При помощи программы Prima решаем обратную геодезическуюзадачу и определяем длину стороны с:
Таблица 1
Решение обратной геодезической задачи
|
№ |
B1 AАВ |
B2 AВА |
L1 Am |
L2 SАВ |
|
1 |
61˚07 04.″316 276˚ 36′ 07.″338 |
61˚09′ 07.″586 96˚ 02′ 32.″093 |
36˚ 13′41.″189 276˚ 19′ 19.″715 |
35˚ 35′20.″055 34650.006 |
|
2 |
… |
|
|
|
2. Теорема Лежандра утверждает:если стороны плоского и сферического треугольника соответственно равны, то углыплоского треугольника равны углам сферического, уменьшенным на одну третьсферического избытка.
Если обозначить А, В, С углысферического треугольника, полученные из измерений, а 
— сферический избыток и вычислить:
; 
; 
;
где
;
(вычисляется по среднейшироте),
то А/ , В/,С/ есть углы плоского треугольника, стороны которого равнысоответственно сторонам сферического треугольника.
Вычисление сферического избыткавыполняется в таблице 2.
Таблица 2
Вычисление сферического избытка
|
Формула |
Значения |
|
А В С |
34,650006 58о 27′ 24,″57 50о 37′ 19,″2 70о 55′ 16,″12 |
|
|
0.0025270 |
|
sinA sinB sin C |
1200,622916 0.852246 0.772977 0.945069 |
|
|
2.11 |
3. Решениетреугольника триангуляции по теореме Лежандра выполняется в таблице 3.
Стороныплоского треугольника вычисляем по теореме синусов, используя уравненные углыплоского треугольника и известную сторону.
4.Решимсферический треугольник по способу аддитаментов, принимая следующееутверждение:
если углыплоского треугольника равны соответствующим углам сферического, то стороныплоского треугольника меньше соответствующих сторон сферического на величинуаддитамента.
Для сторонтреугольников меньше 100 км аддитаменты вычисляются по формулам:
Аа=Ка3; Аb=Kb3; Ac=Kc3;
K=1/6R2 (значение длин сторон берется в км,аддитаменты получаем в м).
Вычисленияпроизводим в таблице 4.
По известнойстороне сферического треугольника находим аддитамент и сторону плоскоготреугольника: Sплоского=Sсферического-А.
Применяя теорему синусов, по известной сторонеплоского треугольника и по углам находим значения недостающих сторон плоскоготреугольника. Вычисляем аддитаменты найденных сторон и определяем сторонысферического треугольника по формулам: Sсферического=Sплоского+А.
5. Вычисляемазимуты направлений АС и ВС, используя уравненные углы сферическоготреугольника и азимут направления АВ.
6. Используяпрограмму Prima решаем прямую геодезическую задачу и вычисляем широту идолготу точки С от двух исходных точек (А и В).
Таблица3
Решениетреугольника триангуляции по теореме Лежандра
|
Вершина |
Измеренные углы сферического треугольника(исх.данные) |
Поправка всферические углы |
Уравненные углысферического треугольника |
-ε/3 |
Углы плоского треугольника |
Sin углов плоского треугольника |
Противолежащиестороны |
|
А |
58о 27′ 24,″57 |
+0,″74 |
58о 27′ 25,″31 |
-0,″70 |
58о 27′ 24,″61 |
0.852246297 |
31246.733 |
|
В |
50о 37′ 19,″2 |
+0,″74 |
50о 37′ 19,″94 |
-0,″70 |
50о 37′ 19,″24 |
0.772977358 |
28340.419 |
|
С |
70о 55′ 16,12″ |
+0,″74 |
70о 55′ 16,86″ |
-0,″71 |
70о 55′ 16,″15 |
0.945069651 |
34650.006 |
|
∑ |
179о 59′ 59,″89 |
+2,″22 |
|
+2,″11 |
180о 00′ 00″ |
|
|
ε″ 02,″11
fβ -2,″ 22fβ=∑β-(180+ε)
Таблица4
Решениетреугольника триангуляции по способу аддитаментов
|
Вершина |
Уравненные углысферического треугольника |
Sin углов сферического треугольника |
Стороны плоскоготреугольника |
А,м |
Сторонысферического треугольника |
|
|
А |
58о 27′ 25,″31 |
0,852248072 |
31246,608 |
0,124 |
31246,732 |
|
|
В |
50о 37′ 19,″94 |
0,772979511 |
28340,325 |
0,093 |
28340,418 |
|
|
С |
70о 55′ 16,86″ |
0,945070777 |
34649,836 |
0,170 |
34650,006 |
|
Таблица5
Решениепрямой геодезической задачи
|
№ |
В1 В2 |
L1 L2 |
A13 A31 |
S31 |
|
1 |
61˚07 04.″316 61˚ 19′ 21.″580 |
36˚ 13′41.″189 36˚32′ 27.″007 |
36˚ 13′41.″189 216˚ 30′ 07.″945 |
28340,418 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
61˚09′ 07.″586 61˚ 22′ 40.″302 |
35˚ 35′20.″055 35˚ 56′ 03.″514 |
36˚ 13′41.″189 216˚31′ 51.″522 |
31246,732 |
