РЕДУЦИРОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ТРИАНГУЛЯЦИИ С ЭЛЛИПСОИДА НА ПЛОСКОСТЬ.Для решения данной задачи должны быть известны:
-
геодезические координаты одной вершины треугольника;
-
азимут и длина одной его стороны на эллипсоиде;
-
измеренные направления (или углы) в треугольнике.
При выполнении этой работы исходными данными являются (табл. 1):
— геодезические координаты пункта А;
— длины сторон сферического треугольника;
— уравненные углы сферического треугольника.
Таблица 1.
Исходные данные.
|
Вер- Шина |
Уравненные сферические углы |
Стороны треуголь- ника на эллипсоиде |
Азимут |
Широта |
Долгота |
|
А |
52˚ 13′ 18,8″ |
|
|
61˚45′33,686″ |
50˚ 20′ 50.29″ |
|
|
|
23775,858 |
|
|
|
|
С |
67˚ 06′ 48,76″ |
|
|
|
|
|
|
|
21556,263 |
|
|
|
|
В |
60˚ 39′ 55,09″ |
|
|
|
|
|
|
|
25126,012 |
261˚37′1,254″ |
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
Порядок выполнения работы
-
по геодезическим координатам вершин А и В, в программе Prima, решая обратную геодезическую задачу, найдем азимут направления АВ.
1. По геодезическим координатам (B, L) одной вершины треугольника, например А, вычисляются ее плоские прямоугольные координаты в шестиградусной зоне проекции Гаусса (х, у) и сближение меридианов — γ . Долгота осевого меридиана для задания равна 51˚. Тогда
хА= 6850405,353;
уА= -34469,791;
γ = —0˚ 34′ 30,040″.
Эти вычисления производятся с использованием программы решения задач сфероидической геодезии.
2. Вычисляют приближенное значение дирекционного угла стороны АВ (табл.2) по формуле:
(1)
где А- азимут линии на эллипсоиде.
Таблица 2
Вычисление приближенного
дирекционного угла стороны АВ.
|
А |
261˚37′1,254″ |
|
– γ |
-0˚ 34′ 30,040″ |
|
Т’ |
262˚ 11′ 31,294″ |
3. Вычисляют приближенное значение длины стороны АВ на плоскости (табл.3) по формуле:
(2)
где ΔS‘ – поправка в длину, вычисляемая по координате уА:
(3)
где Rm – средний радиус кривизны, вычисляемый при помощи программы, по средней широте треугольника.
Таблица 3
Вычисление приближенной длины стороны АВ на плоскости
|
уА |
-34469,791 |
|
Rm ( для В=61˚44′ ) |
6390047,529 |
|
ΔS’,м |
0,37 |
|
S,м |
25126,012 |
|
d’,м |
25126,382 |
4. Вычисляют приближенные длины сторон треугольника по теореме синусов (табл. 4):
(4)
Таблица 4
Вычисление приближенных длин сторон треугольника
|
Вершинытреугольника |
Углы на эллипсоиде |
Синусы углов |
Стороны наплоскости |
|
А |
|
|
|
|
В |
60˚ 39′ 55,09″ |
0.871772751 |
25126 |
|
С |
67˚ 06′ 48,76″ |
0.921277366 |
23776 |
|
А |
52˚ 13′ 18,8″ |
0.790389105 |
21556 |
5. Вычисляют приближенные значения плоских прямоугольных координат, используя приближенные длины сторон, приближенный дирекционный угол исходной стороны и сферические углы (табл. 5).
Таблица 5.
Вычисление приближенных координат (до 1 м).
|
Порядок действий |
1 |
А |
B |
A |
|
2 |
B |
C |
C |
|
|
1 |
Т ‘12 |
262˚ 11′ 31,3″ |
21˚ 31′ 36.2″ |
314˚ 24′ 50,1″ |
|
10 |
Х2 |
6846992 |
6867044 |
6867044 |
|
8 |
Х1 |
6850405 |
6846992 |
6850405 |
|
6 |
ΔХ12 |
-3413 |
20052 |
16639 |
|
4 |
cos Т ‘12 |
-0.135853 |
0.930247 |
0.699837 |
|
2 |
d ‘12 |
25126 |
21556 |
23776 |
|
3 |
sin Т ‘12 |
-0.990729 |
0.366935 |
-0.714303 |
|
5 |
ΔY12 |
-24893 |
7910 |
-16983 |
|
7 |
Y1 |
-34470 |
-59363 |
-34470 |
|
9 |
Y2 |
-59363 |
-51453 |
-51453 |
-
Определяют поправки в измеренные направления за кривизну изображения геодезической линии δ»ik и поправки в длины за переход с эллипсоида на плоскость ΔSik, используя программу (табл. 6).
Таблица 6.
Ведомость поправок в направления и расстояния.
|
Вершина |
Координаты в км |
δ»12 |
δ»21 |
ΔS,м |
|
|
х |
y |
||||
|
А |
6850.405 |
-34.470 |
|
|
|
|
|
|
|
-0.369 |
0.440 |
0.693 |
|
В |
6846.992 |
-59.363 |
|
|
|
|
|
|
|
2.873 |
-2.739 |
0.812 |
|
С |
6867.044 |
-51.453 |
|
|
|
|
|
|
|
-1.924 |
1.687 |
0.544 |
|
А |
6850.405 |
-34.470 |
|
|
|
7. Поправки в углы за кривизну геодезической линии вычисляются как разность поправок в правое и левое направление (табл. 7):
(5)
Таблица 7.
Вычисление поправок в углы.
|
Вершина |
δ»П |
δ»Л |
Δ» |
Углы на эллипсоиде |
Углы на плоскости |
|
А |
1.687 |
-0.369 |
2.056 |
52˚ 13′ 18,8″ |
52˚ 13′ 20.856″ |
|
В |
0.440 |
2.873 |
-2.433 |
60˚ 39′ 55,09″ |
60˚ 39′ 52.657″ |
|
С |
-2.739 |
-1.924 |
-0,815 |
67˚ 06′ 48,76″ |
67˚ 06′ 47.945″ |
|
Σ |
|
|
-1.192 |
|
180˚ 00′ 00.00″ |
В качестве контроля вычислений служит равенство:
(6)
8. Вычисление точного значения исходного дирекционного угла (табл. 8) по формуле:
(7)
Таблица 8.
Вычисление точного значения дирекционного угла стороны АB
|
А |
261˚37′1,254″ |
|
– γ |
-0˚ 34′ 30,040″. |
|
δ»АB |
-0.369″ |
|
Т’ |
262˚ 11′ 30.925″ |
9. Вычисляют значения длин сторон на плоскости (табл. 9):
Таблица 9.
Вычисление длин сторон треугольника на плоскости
|
Сторона |
Длина стороны на эллипсоиде, м |
ΔS,м |
Длина стороны на плоскости, м |
|
А-С |
23775,858 |
0.544 |
23776.402 |
|
В-С |
21556,263 |
0.812 |
21557.075 |
|
А-В |
25126,012 |
0.693 |
25126.705 |
10. Используя значение дирекционного угла стороны АВ, плоские прямоугольные координаты пункта А, значения углов и длин сторон на плоскости решением прямых геодезических задач находят плоские прямоугольные координаты пунктов В и С (табл. 10). Координаты пункта С находят дважды.
Таблица 10.
Вычисление окончательных значений координат
|
Порядок действий |
1 |
А |
B |
A |
|
2 |
B |
C |
C |
|
|
1 |
α ‘12 |
262˚11′30.925″ |
21˚ 31′ 38,268″ |
314˚ 24′ 51.781″ |
|
10 |
Х2 |
6846991.759 |
6867045.074 |
6867045.094 |
|
8 |
Х1 |
6850405,353 |
6846991.759 |
6850405,353 |
|
6 |
ΔХ12 |
-3413.594 |
20053.315 |
16639.741 |
|
4 |
cos α ‘12 |
-0.135855226 |
0.930242855 |
0.69984268 |
|
2 |
d ‘12 |
25126.705 |
21557.075 |
23776.402 |
|
3 |
sin α ‘12 |
-0.9907287 |
0.36694451 |
-0.714297012 |
|
5 |
ΔY12 |
-24893.748 |
7910.249 |
-16983.413 |
|
7 |
Y1 |
-34469,791 |
-59363.539 |
-34469,791 |
|
9 |
Y2 |
-59363.539 |
-51453.290 |
-51453.204 |