Решение задач сферической тригонометрии Вариант 3

    Скачать с Depositfiles 

 

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра геоинформатики и геодезии

Отчет

по лабораторной работе №2:

Тема: «Решение задач сферической тригонометрии»

Вариант №3

Выполнил:

Ст. гр.

 

Проверил:

асс.каф.ГиГ

Ковалёв К. В.

г. Донецк 2013

 

 

Решение задач сферической тригонометрии

 

Решить сферический треугольник – значит найти все его элементы по заданным. Каждый сферический треугольник содержит 6 элементов – три стороны и три угла. Чтобы решить треугольник, нужно знать три его элемента (рис. 1.1).

 

                        Рис. 1.1

В практике применяется три общих случая решения сферических треугольников:

— по трем сторонам – а, b, c;

— двум сторонам и углу между ними, например, а, b и ;

— по углам и стороне и между ними, например, А, В и С.

Прежде чем приступить к решению сферического треугольника, нужно проверить, соответствуют ли заданные элементы условиям существования такого треугольника, учитывая свойства его углов и сторон. При получении решения, необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные величины условиям существования треугольника; если не удовлетворяют, то такие результаты должны быть отброшены. Это важно тогда, когда по значению функции может быть найдено два угла.

Решение сферических треугольников включает следующие операции:

— оценка исходных данных;

— выбор формул;

— составление схемы и вычисления;

— анализ полученных результатов;

— контрольные вычисления.

Основные формулы сферической тригонометрии:

Для других сторон и углов сферического треугольника аналогичные формулы могут быть получены соответствующей перестановкой элементов треугольника.

Кроме них применяют формулы полупериметра:

 

ЗАДАНИЕ

Вариант №3

1. В прямоугольном сферическом треугольнике даны:

  • гипотенуза ;

  • катет .

Решить треугольник.

2. В прямоугольном сферическом треугольнике даны:

  • катет ;

  • прилежащи й угол .

Решить треугольник.

3. В сферическом треугольнике даны стороны:

Решить треугольник.

РЕШЕНИЕ.

1. В прямоугольном сферическом треугольнике даны:

  • гипотенуза ;

  • катет .

Найти: углы В,  и катет с.


 

Рис. 1.2. Расположение элементов треугольника

Правило Непера:

Косинус каждого из элементов сферического треугольника равняется произведению или котангенсов соседних с ним элементов или синусов несмежных.

По правилу Непера для угла  :

Для катета  запишем:

Откуда:

Аналогично для катета с получим:

Контрольная формула получается, если соединить искомые величины В,  и с по правилу Непера:

Решение треугольника приведено в таблице 1.1.

Таблица 1.1. Решение прямоугольного сферического треугольника.

Вычисление

Вычисление В

Вычисление с

ctg a

0,4865928

sin b

0,6437379

cos a

0,4375430

tg b

0,8412168

sin a

0,8991975

cos b

0,7652461

cos

0,4093300

sin B

0,7159027

cos c

0,5717677

65°50’14.09»

B

45°43’02.02»

с

55°07’35.09»

Контроль

 

Ответ:

65°50’14»

В = 45°43’02»

с = 55°07’35»

cos

0,4093300

sin B

0,7159027

cos c

0,5717677

cos

0,4093300

 

 

 

2. В прямоугольном сферическом треугольнике даны:

  • катет ;

  • прилежащи й угол .

Найти: a, b и .

По правилу Непера для угла  :

Для катета b запишем:

Откуда:

Для угла В запишем:

Откуда:

Контрольная формула получается, если соединить искомые величины ab и  и по правилу Непера:

Решение треугольника приведено в таблице 1.2.

 

Таблица 1.2. Решение прямоугольного сферическоготреугольника.

Вычисление

Вычисление a

Вычисление b

sin B

0,7373363

cos B

0,6755259

sin c

0,6215694

cos c

0,7833591

tg c

0,7934668

ctg B

0,9161706

cos

0,5775991

ctg a

0,8513600

tg b

0,6784429

54°43’05.33»

a

49°35’24.92»

b

34°09’16.75»

Контроль

 

Ответ:

54°43’05»

a = 49°35’25»

b = 34°09’17»

cos

0,5775991

tg b

0,6784429

ctg a

0,8513600

cos

0,5775991

 

 

3. В сферическом треугольнике даны стороны:

Найти: А, В и .

Так как известны все три стороны треугольника, то удобно применить формулы полупериметра. Решение выполняется в таблице 1.3.

Промежуточным контролем здесь является формула:

Для окончательного контроля вычислений применяется соотношение между синусами сторон и противолежащих им углов. Контроль выполняется в таблице 1.4.

 

 

Таблица1.3. Решение треугольника по формулам полупериметра

Порядок действий

Формулы

Значения

Примечание

1

a

 

2

b

 

3

c

 

4

2p=a+b+c

110°36’34»

 

5

p

55°18’17»

Выписатьр

6

p-a

35°03’37»

7

p-b

15°51’05»

8

p-c

04°23’35»

9

p

55°18’17»

Контроль

10

sin (p-a)

0,5744379

 

11

sin (p-b)

0,2731432

 

12

sin (p-c)

0,0765982

 

13

sin p

0,8221910

 

14

0,0146177

 

15

M

0,1209037

 

16

M:sin p

0,1470506

Сравнитьс 20

17

tg (A/2)

0,2104731

 

18

tg (B/2)

0,4426385

 

19

tg (/2)

1,5784144

 

20

tg (A/2)*tg (B/2)*tg (/2)

0,1470506

Сравнитьс 16

21

A

23°46’17»

 

22

B

47°45’07»

 

23

115°17’15»

 

 

Контрольныевычисления

Таблица1.4.

 

Формулы

Значения

Формулы

Значения

Формулы

Значения

sin a

0,3460261

sin b

0,6354495

sin c

0,7761748

sin A

0,4030884

sin B

0,7402409

sin

0,9041758

0,8584373

0,8584361

0,8584335

 
 

 

    Скачать с Depositfiles