Радиус кривизны меридианного сечения

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
1.5 Радиус кривизны меридианного сечения
Получим выражение для радиуса кривизны меридиана M в зависимости от
геодезической широты B и элементов земного эллипсоида.
На рис. 1.10 изображена часть меридианного эллипса, на котором выделен
dX и соответствующий бесконечно малому
приращению широты dB. Точка C является центром кривизны элемента dX, так
что отрезки DC и KC равны радиусу кривизны меридиана M. На основании из-
вестного определения радиуса кривизны любой кривой можно написать для M
элемент дуги меридиана KD, равный
следующее выражение:
M =
K
B
Q
B 90
dX
-dr
E
D
dX
dB
Проведя линию DE, параллельную
плоскости экватора, и линию KE, ей пер-
пендикулярную, получим прямоугольный
треугольник KDE. В этом треугольнике
угол при точке K равен широте, а катет DE
— изменению радиуса параллели (-dr), со-
ответствующему приращению широты dB
(dr взято со знаком минус, т.к. с увеличе-
нием широты радиус параллели уменьша-
ется). Из треугольника KDE получаем
dB
C
(1.11)
dX = −
Рис.1.10
dr
sin B
и, следовательно
M =−
dr 1
dB sin B
(1.12)
Найдем дифференциал dr . Исходя из формул тригонометрии выразим ко-
синус приведенной широты следующим образом
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
16
cosu =
1
2
1 + tg u
.
Тогда согласно (1.4) можно записать
1
cos u =
1+
b
a
cos B
=
2
tg 2 B
2
cos 2 B +
2
b
a2
.
sin2 B
Заменяя в последнем уравнении
2
b2
2
cos B = 1 − sin B ,
= 1 − e2 ,
a2
получим
cos B
cos u =
2
2
1 − e sin B
.
С учетом (1.5) можно записать выражение для радиуса кривизны параллели
r = a cos u =
a
2
2
1 − e sin B
cos B .
(1.13)
Перепишем последнее выражение следующим образом
(
2
2
r = a cos B 1 − e sin B
)
−1 2
.
Дифференцируя последнюю формулу ( как дифференциал произведения),
получим
(
dr = −a sin B 1− e2 sin2 B
)
−1 2
(
1
− a cos B 1− e2 sin2 B
2
) (−e )2 sin B cos B dB
−3 2
2
Вынесем общие члены за скобки
(
dr
= a sin B  1 − e2 sin 2 B
dB
) [−(1− e
−3 2
2
]
)
sin2 B + e2 cos 2 B  .
Вынося знак минус за квадратные скобки, получим
(
dr
= − a sin B 1 − e2 sin2 B
dB
) [1− e
−3 2
2
]
sin2 B − e2 cos 2 B .
Выражение в квадратных скобках можно преобразовать следующим образом
(
)
1 − e2 sin2 B − e2 cos 2 B = 1 − e2 sin2 B + cos 2 B = 1 − e2 .
Тогда
1. Геометрия земного эллипсоида
17
(
dr
= − a sin B 1 − e2 sin2 B
dB
Окончательно можно записать
(
a 1 − e2
dr
=−
dB
(1 − e
2
)
2
sin B
) (1− e ) .
)
−3 2
3
2
sin B .
Подставляя найденное значение производной в формулу (1.12), находим
M=
(
a 1 − e2
(1 − e
С учетом (1.6) можно записать
M=
2
)
sin 2 B
(
a 1 − e2
W3
)
3
.
).
(1.14)
(1.15)
Из формулы (1.14) ясно, что радиус кривизны M возрастает при изменении B
от 0 до 90° .
Радиус кривизны меридианного эллипса в полюсах ( при B=90°) обозначим
через c и будем называть полярным радиусом кривизны. Тогда
c=
(
a 1 − e2
(1 − e )
)
2 32
a2
=
=
= 1 − e′ 2 .
b
1 − e2
a
(1.16)
Для эллипсоида Красовского полярный радиус равен 6 399 698,9018 м;
Если в формулу (1.15) подставить значение W из выражения (1.8) и выпол-
нить преобразования с учетом (1.16), то получим еще одну формулу для вычис-
ления радиуса меридианного сечения
M =
c
V3
(1.17)