Радиус кривизны сечения первого вертикала, Линейный элемент поверхности

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
1.6 Радиус кривизны сечения первого вертикала
Для выражения радиуса кривизны сечения первого вертикала воспользуем-
ся рис. 1.11. На данном рисунке:
DAK — сечение первого вертика-
P
ла;
A
r
SO’A — плоскость параллели ( ко-
O
B
сое сечение).
K
U
Эти два сечения имеют общую
B
E1
E
касательную AU. Вывод радиуса кри-
O
визны сечения первого вертикала
N
основан на теореме Менье, которая
гласит:
Если через точку поверхности про-
ведены два сечения — нормальное и
P1
наклонное, причем в рассматривае-
Рис.1.11
мой точке эти два сечения имеют
общую касательную, то радиус кри-
визны наклонного сечения равен радиусу кривизны нормального сечения, ум-
ноженному на косинус угла между плоскостями этих сечений.
Следовательно,
r = N cos B .
(1.18)
Тогда
/
N=
r
,
cos B
и с учетом (1.13)
a
N =
2
2
1 − e sin B
(1.19)
или
a
,
W
c
N = .
V
N=
Для ответа на вопрос, какой из двух радиусов
формул (1.21) и (1.17) образуем соотношение
N
=V 2 ;
M
тогда с учетом (1.7) можем записать
(1.20)
(1.21)
M и N больше, на основании
1. Геометрия земного эллипсоида
19
N
= 1 + e′ 2 cos 2 B .
M
Очевидно, что N>M во всех точках поверхности эллипсоида, кроме полюсов.
На экваторе при B=0°:
(
)
M = a 1 − e2 ; N = a ,
a2
а на полюсе при B=90°: M = N = c =
= .
2
b
1− e
a
 
1.7 Линейный элемент поверхности
Через заданную точку на любой поверхности можно провести бесчисленное
множество различных линий. Направление каждой линии в данной точке уста-
навливается углом между одной из координатных линий и данной линией, точ-
нее, углом между касательными к этим линиям.
На поверхности земного эллипсоида в качестве направляющего угла прини-
мается угол между касательными, проведенными к меридиану в северном на-
правлении и к данной линии. Он отсчитывается от меридиана по ходу часовой
стрелки, обозначается латинской буквой
A и называется геодезическим ази-
мутом.
На рис. 1.12 в точке Q показаны
tB — касательная к меридиану;
tL — касательная к параллели;
t — касательная к произвольной кривой
ds.
Геодезический азимут можно опреде-
лить как двугранный угол между плоско-
стью меридиана и нормальной плоско-
стью, проходящей через касательную к за-
данной линии.
Рис.1.12
Дифференциал дуги
ds произвольной
кривой называют линейным элементом
поверхности.
Проектируя линейный элемент на координатные линии, с учетом формул
(1.11) и (1.18) получаем дифференциалы дуг меридиана и параллели
ds cos A = dX = M dB ,
ds sin A = dY = rdL = N cos BdL .
(1.22)
(1.23)
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
20
Отсюда следует, что
ds 2 = M 2dB 2 + N 2 cos 2 BdL2 .
(1.24)
Из равенств(1.22) и (1.23) можно найти следующие дифференциальные
уравнения
dB cos A
=
,
M
ds
dL
sin A
.
=
ds N cos B
(1.25)
(1.26)
Эти уравнения показывают характер изменения широты и долготы при дви-
жении вдоль любой линии на поверхности эллипсоида.