Радиус кривизны произвольного нормального сечения, Средний радиус кривизны

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
1.8 Радиус кривизны произвольного нормального сечения
Связь между радиусом кривизны произвольного нормального сечения
радиусами кривизны главных нормальных сечений M и
верхности эллипсоида устанавливает формула Эйлера
N в любой точке по-
1
1
1
=
cos 2 A + sin2 A .
RA M
N
(1.27)
A — геодезический азимут сечения, т.е. угол, составленный меридианным
сечением и нормальным сечением, имеющим азимут A.
где
Из формулы (1.27) следует, что нормальные сечения, расположенные сим-
метрично по отношению к главному нормальному сечению, имеют одинаковые
радиусы кривизны. Действительно, при замене
A в формуле (1.27) на (360°-A),
(180°-A), (180°+A) значение R не изменяется.
Преобразуя выражение (1.27), получим формулу для вычисления радиуса
кривизны произвольного нормального сечения с азимутом, равным A
RA =
MN
2
2
N cos A + M sin A
.
(1.28)
Путем несложных преобразований данную формулу можно представить в
другом виде, удобном для практического использования
RA =
N
2
2
1 + η cos A
.
(1.29)
Для менее точных вычислений данная формула может быть преобразована
1. Геометрия земного эллипсоида
21
 1
R A = R 1 − e′ 2 cos 2 B cos 2 A ,
 2
(1.30)
где R — средний радиус кривизны, который будет рассмотрен в следующем
параграфе.
Формула (1.30) используется, например, при вычислении поправки за приве-
дение измеренных базисных сторон к поверхности референц-эллипсоида.
 
1.9 Средний радиус кривизны
В геодезии встречается так называемый «средний радиус кривизны», кото-
рый не относится ни к одной линии, ни к одному сечению на эллипсоиде, но ис-
пользуется как вспомогательная величина в некоторых теоретических и практи-
ческих вопросах геодезии.
Средним радиусом кривизны в данной точке поверхности эллипсоида на-
зывается предел, к которому стремится среднее арифметическое из радиусов
кривизны всех нормальных сечений, которые можно провести в данной точке,
когда их число стремится к бесконечности.
Возьмем на эллипсоиде точку Q рис.(1.13) и через нее проведем меридиан
QP, а затем различные нормальные сечения с азимутами
A1,A2,A3 и т.д. через
∆A до 2π , причем величина ∆A очень малая.
Радиусы кривизны этих сечений сле-
M(A=0°), R1(A=A1), R2(A=A2),
…N(A=90°), …Ri(A=Ai), …M(A=180°). Для ка-
дующие:
ждого из сечений надо вычислить радиус и
n
взять среднее значение
Рис.1.13
Rср =
∑ Ri
1
n
при
n → ∞ . Так как симметрично расположен-
ные сечения относительно главных направ-
лений имеют одинаковые радиусы кривиз-
ны, то ограничимся сечениями в пределах от A=0 до A=π/2 .
Приняв угол между соседними сечениями ∆A , находим общее число сече-
ний
n=
Тогда
π
.
2 ∆A
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
22
Rср
Следовательно при
∆A → 0
2 A= π 2
=
∑ R i ∆A .
π A=0
Rср
2
=
π
π2
∫ R i dA .
0
Подставим значение R из формулы (1.28)
Rср
2
=
π
π2
0
MN
N cos 2 A + M sin2 A
dA .
Взяв интеграл и подставив пределы интегрирования, получим окончатель-
ные формулы для вычисления среднего радиуса кривизны
R = MN =
c
V2
=
b
W
2
.
(1.31)
Средний радиус кривизны R используется при решении некоторых задач ма-
тематической картографии и в тех случаях, когда сфероидичностью земли мож-
но пренебречь, приняв для вычислений шар радиусом R.
Средний радиус кривизны во всех точках, за исключением полюсов, меньше
N и больше M , т. е. M<R<N. На полюсах R=M=N=c.