Вычисление длины дуги параллели, Вычисление длины дуги меридиана

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
1.10 Вычисление длины дуги параллели
Параллель на эллипсоиде вращения является окружностью, поэтому вычис-
ление дуги параллели не представляет особой сложности и сводится к опреде-
лению дуги окружности с центральным углом, равным разности долгот конечных
точек дуги. Радиус параллели r определяется по формулам (1.13) и (1.18)
r = N cos B =
a cos B
1 − e2 sin2 B
=
a cos B
.
W
Длина дуги параллели ∆Y, имеющей широту B и разность долгот конечных
точек дуги l, очевидно, определится формулой
∆Y = N cos B
l ′′
.
ρ′′
(1.32)
Можно решить и обратную задачу, т.е. зная расстояние между точками, рас-
положенными на одной параллели с широтой B, найти разность долгот
1. Геометрия земного эллипсоида
23
l ′′ =
∆Y
sec B ρ′′ .
N
(1.33)
1.11 Вычисление длины дуги меридиана
Сложнее обстоит дело с вычислением длины дуги меридиана, т.к. сечение
меридиана представляет собой эллипс, радиус кривизны которого постоянно
изменяется.
Возьмем на меридианном эллипсе две точки Q1 и Q2 соответственно с широ-
dX (рис.1.14.). В этом случае дугу
dX можно рассматривать как дугу окружности радиуса M
dX = ( B 2 − B1)M = M dB .
(1.34)
тами B1 и B2 на бесконечно малом расстоянии
Длина дуги меридиана между конечными точками, имеющими широты B1 и
B2, определится следующим интегралом
∆X =
B2
B1
(
)
a 1 − e2 dB
(1 − e
Рис.1.14
2
sin2 B
)
3
(
= a 1− e
2
B2
)∫(
B1
1 − e2 sin2 B
)
−3 2
dB .
(1.35)
Этот интеграл является эллиптиче-
ским и в элементарных функциях не бе-
рется. Для его нахождения используют 2
способа:
1. Раскладывают подынтегральную
функцию в степенной ряд, ограничиваясь
определенным числом членов разложе-
ния, и выполняют почленное интегриро-
вание, которое, таким образом сводится к
интегрированию в элементарных функци-
ях.
2. Применяют численное интегриро-
вание методами, известными в вычисли-
тельной математике.
1 способ.
Разложение подынтегральной функции в быстросходящийся ряд позволяет
получить общую формулу для вычисления дуги меридиана
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
24
(
)
a
a
∆X = a 1 − e2 a0 ( B 2 − B1) − 2 ( sin 2 B 2 − sin 2 B1) + 4 ( sin 4 B 2 − sin 4 B1) −
2
4
a
(1.36)
− 6 ( sin 6B 2 − sin 6B1)+ … ,
6
где (B2- B1 ) — разность широт выраженная в радианах,
3
45
175 6 11025 8
a0 = 1 + e2 + e4 +
e +
e + … ;
4
64
256
16384
3 2 15 4 525 6 2205 8
a2 =
e + e +
e +
e + … ;
4
16
512
2048
15
105 6 2205 8
a4 =
+ e4 +
e +
e + … ;
64
256
4096
35 6 315 8
a6 =
+
e +
e + … .
512
2048
Формула (1.36), как уже отмечалось, является общей для дуги меридиана.
Она может быть преобразована в зависимости от ее назначения и от длины дуги
меридиана.
1. Если принять B1=0, то получим формулу для длины дуги меридиана от эк-
ватора до точки с заданной широтой B
(
)
 B ′′ a2
a
a
X = a 1 − e2 a0
− sin 2 B + 4 sin 4 B − 6 sin 6B + … .
4
6
 ρ′′ 2
(1.37)
Эта формула используется для вычисления плоских прямоугольных коорди-
нат в проекции Гаусса-Крюгера по заданным геодезическим координатам.
2. Для вычисления длин дуг меридианов протяженностью до 400 километров
с точностью до одного миллиметра в формуле (1.36) достаточно удерживать
слагаемые, содержащие множитель e2, и тогда получим следующую формулу
∆X = M m
( B 2 − B1) 1 + ( B 2 − B1)2 e2 cos 2 B
ρ
8ρ2
m ,
(1.38)
где Mm -вычисляется по средней широте Bm =(B1+B2 )/2.
3. Для вычислений в триангуляции, когда стороны незначительны и редко
превышают 40-50 километров, приведем более простую и удобную формулу
∆X = M m
( B 2 − B1 ) .
ρ
(1.39)
Следовательно, при длине дуги менее 45 км ее можно рассматривать как
сферическую с центральным углом, равным разности широт конечных точек, и
1. Геометрия земного эллипсоида
25
описанную радиусом меридианного сечения, соответствующим средней широте
дуги.
Нахождение широты B по заданной длине дуги меридиана от экватора явля-
ется обратной задачей. Из формулы (1.37) может быть записана следующая
формула для определения широты
BX по заданной длине дуги меридиана про-
извольной длины X
BX
a4
a6
1 
X

 a2
=
+  sin 2 B X −
sin 4 B X +
sin 6 B X 

a0  a 1 − e 2  2
4
6
(
)
(1.40)
Вычисление широты производят методом последовательных приближений,
принимая в первом приближении
I
BX =
(
X
a0 a 1 − e 2
)
Последующие приближения выражаются следующими формулами:
II
I
BX = BX +
III
I
BX = BX +
IV
I
BX = BX +
1 a2
1a
I
I
sin 2 B X − 4 sin 4 B X ;
2 a0
4 a0
1 a2
1a
1a
II
II
II
sin 2 B X − 4 sin 4 B X + 6 sin 6 B X ;
2 a0
4 a0
6 a0
1 a2
1a
1a
III
III
III
sin 2 B X − 4 sin 4 B X + 6 sin 6 B X .
2 a0
4 a0
6 a0
Окончательное значение выражается следующей формулой
I
BX = BX +
1 a2
1a
1a
IV
IV
IV
sin 2 B X − 4 sin 4 B X + 6 sin 6 B X .
2 a0
4 a0
6 a0
2 способ.
При численном интегрировании удобно использовать наиболее простую и
достаточно точную формулу Симпсона (формулу парабол). Разделим интервал
интегрирования на 2 равные части. Тогда можно записать
∆B
(1.41)
( M 1 + 4M m + M 2 ) .
6
В данной формуле радиус кривизны M определяется в трех точках искомой
∆X =
дуги меридиана: в начальной, конечной и средней, соответственно по широтам
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
26
B1, B2, Bm. При расстояниях между точками до 500 километров формула (1.41)
обеспечивает точность вычислений 1-2 см.
Для контроля и повышения точности длину дуги меридиана можно вычис-
B2
Bm
Bm
Bm
B1
Экватор
Рис.1.15
лить как сумму нескольких дуг. На рис.1.15. показано нахождение дуги меридиа-
на между точками с широтами B1 и B2 как сумму двух дуг
∆X 1 и ∆X 2 :
∆X = ∆X 1 + ∆X 2 ;
(Bm − B1 )′′ (M + 4M ′ + M )
∆X 1 =
m
m
1 ;
6 ρ ′′
(B2 − Bm )′′ (M + 4M ′′ + M )
∆X 2 =
2
m
m .