Расчет рамок съемочных трапеций, Вычисление площадей съемочных трапеций

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
1.12 Вычисление площадей съемочных трапеций
Съемочные трапеции являются частью поверхности земного эллипсоида.
Они ограничиваются линиями меридианов и параллелей. Вычисление площа-
дей съемочных трапеций или листов карт сводится к вычислению площадей
сфероидических трапеций.
Возьмем на эллипсоиде бесконечно малую трапецию ABCD (рис.1.16). Сто-
роны этой трапеции являются элементами дуг меридианов и параллелей
A B = CD = M dB ;
A D = BC = rdL = N cos BdL ;
1. Геометрия земного эллипсоида
27
P
E
E1
P
Рис.1.16
Площадь данной элементарной трапеции выразится формулой
dP = M N cos BdL dB .
Учитывая, что в соответствии с формулой (1.31)
dP =
b2 cos B
(1 − e
2
sin2 B
)
2
2
MN = R =
b2
W
4
, запишем
dBdL .
Площадь конечной трапеции, ограниченной широтами B1 и B2 и долготами L1
и L2, выразится двойным интегралом
P = b2
(1 − e2 sin 2 B)−2 cos BdBdL.
L2 B2
L1 B1
Интегрируя по dL, получаем
B2
(
P = b ( L 2 − L1) ∫ 1 − e2 sin2
2
B1
)
−2
cos BdB .
(1.42)
Оставшийся интеграл в формуле (1.42) является эллиптическим и, как из-
вестно, в элементарных функциях не берется. Для его вычисления разложим
подынтегральную функцию в ряд по биному Ньютона
(1 − z) − 2 = 1 + 2 z + 3z 2 + 4 z 3 + …;
(
1 − e2 sin2 B
)
−2
= 1 + 2e2 sin 2 B + 3e4 sin4 B + 4e6 sin6 B + …
Подставим полученное выражение в формулу (1.42)
B2
(
)
P = b ( L2 − L1) ∫ cos B + 2e2 sin2 B cos B + 3e4 sin4 B cos B + 4e6 sin6 B cos B +.. dB
2
B1
Отсюда, выполняя почленное интегрирование, получим
B
2
2 2 3
3 4 5
4 6 7
P = b ( L 2 − L1)  sin B + e sin B + e sin B + e sin B + … .
3
5
7
 B1
2
Подставляя пределы интегрирования, окончательно имеем
P = b2 ( L 2 − L1) ( sin B 2 − sin B1) + e2 sin3 B 2 − sin3 B1 +
+ e4 sin5 B 2 − sin5 B1 + e6 sin7 B 2 − sin7 B1 + … .
(1.43)
Применяя данную формулу, подсчитаем площадь половины эллипсоида, то
есть при B1=0°, B2 =90°, L2 -L1 =2π, sin0°=0; sin90°=1
3
P = 2πb2 1 + e2 + e4 + e6 + … .
(1.44)
Площадь всего эллипсоида будет в 2 раза больше, т.е.
P = 4πb2 1 + e2 + e4 + e6 + …
Площадь поверхности эллипсоида Красовского составляет 510 083 035 квад-
ратных километра. Радиус шара, площадь которого равна площади эллипсоида
Красовского, равен 6 371 116 метра, а радиус шара, равновеликого по объему
эллипсоиду Красовского равен 6 371 110 метров. Следовательно, при прибли-
женных вычислениях, когда Землю можно принимать за шар, его радиус следу-
ет брать равным 6371 километр.
1.13 Расчет рамок съемочных трапеций
Западная и восточная рамки съемочной трапеции ABCD (рис.1.17.) пред-
ставляют собой дуги меридианов между широтами B1 и B2 . Поэтому
A B = CD = ∆X .
Учитывая, что ∆X величина относительно небольшая (даже для карт мас-
штаба 1:1 000 000 разность широт B2-B1 =4°, а ∆X≈444км ) и не требуется высо-
кая точность вычислений, длину дуги меридиана можно определить по форму-
ле(1.39)
AB = CD = ( B2 − B1 )
M
′′ Mm
= ∆B ′′ m ,
ρ′′
ρ′′
где Mm -радиус меридианной кривой, взятый по средней широте.
(1.46)
1. Геометрия земного эллипсоида
29
Северная и южная рамки являются дугами параллелей, имеющих соответст-
венно широты B1 и B2. Поэтому в соответствии с формулой (1.32) запишем
a2
A
d
c
a1
B
D
c
C
Рис.1.17
rB 2 ∆L ′′
N 2 cos B 2 ∆L ′′ 
,
ρ′′
ρ′′
.
rB1 ∆L ′′ N 1 cos B1∆L ′′ 
BC =
=
ρ′′
ρ′′
AD =
=
(1.47)
Для получения размеров рамок в заданном масштабе необходимо найден-
ные величины разделить на знаменатель масштаба m, а для получения разме-
ров сторон трапеции в сантиметрах умножить на 100. Поэтому окончательно бу-
дем иметь
M 
100
∆B ′′ m ,
m
ρ′′
100 N 1 cos B1∆L ′′ 
a1 = BC =
, .
m
ρ′′
100 N 2 cos B 2 ∆L ′′ 
a2 = A D =
m
ρ′′
c = A B = CD =
(1.48)
Существуют специальные таблицы, из которых размеры рамок и площади
трапеций различных масштабов можно выбрать по аргументу широты, напри-
мер, «Таблицы координат Гаусса-Крюгера и таблицы размеров рамок и площа-
дей трапеций топографических съемок», Москва, Геодезиздат, 1948 год. В них
приводятся стороны трапеций a1, a2, c и диагональ d, выраженные в сантимет-
рах. Диагональ приведена для контроля, который осуществляется по формуле
d = a1a2 + c2 .