Кривые на эллипсоиде вращения, Взаимные нормальные сечения, Понятие о геодезической линии, Упрощенный вывод основного уравнения геодезической линии

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
2. КРИВЫЕ НА ЭЛЛИПСОИДЕ ВРАЩЕНИЯ

2.1 Взаимные нормальные сечения
Для объяснения сущности взаимных нормальных сечений докажем вначале,
что нормали к поверхности эллипсоида, проведенные из точек с разными широ-
тами пересекаются с осью PP1 в разных точках.
Возьмем на поверхности эллипсоида две точки A и B с широтами соответст-
венно B1 и B2 (рис.2.1). Пусть B2 >B1. Проведем нормали к поверхности эллип-
соида в точках A и B. Обе нормали лежат в плоскостях меридианных эллипсов,
проходящих через точки A и
B и пересекают малую ось
PP1 соответственно в точках
n a и n b.
Опустим из точки A пер-
пендикуляр AA1 на малую
полуось PP1 . Тогда в систе-
ме координат меридианного
эллипса, проходящего через
точку A, отрезок OA1, есть не
что иное, как ордината y точ-
ки A.
Согласно параметриче-
ских уравнений эллипса (1.2)
Рис.2.1
y = OA1 = b sin u .
Преобразуем данное выражение с учетом следующих соотношений
b = a 1 − e2 ;
sin B
sin u =
;
V
W = V 1 − e2 .
Тогда
(
)
a 1 − e2 sin B1
sin B1 a
OA1 = a 1 − e2
=
1 − e2 sin B1 =
.
2
2
V1
W1
1 − e sin B1
(
)
(2.1)
Отрезок A1na определим из прямоугольного треугольника AA1na
A1na = A na sin B1.
Учитывая, что A1na является радиусом кривизны первого вертикала в точке
A, можно записать
2. Кривые на эллипсоиде вращения
31
a sin B1
A1na = N 1 sin B1 =
2
2
1 − e sin B1
.
(2.2)
Расстояние от центра эллипсоида до пересечения нормали с малой полу-
осью выражается так
Ona = A1na − OA1 =
Ona =
a sin B1
2
2
1 − e sin B1
ae2 sin B1
2
2
1 − e sin B1
(
)
a 1 − e2 sin B1
2
2
1 − e sin B1
,
. (2.3)
. (2.4)
Аналогично для точки B будем иметь
Onb =
ae2 sin B 2
2
2
1 − e sin B 2
Так как по условию B2>B1 , то Onb >Ona, т.е. нормаль к поверхности эллип-
соида, проведенная в точке, имеющей меньшую широту, пересекает малую ось
ближе к центру.
Таким образом, рассматриваемые нормали Ana и Bnb представляют собой
две скрещивающиеся в пространстве, но не пересекающиеся прямые (они
пересекаются в одной точке, если точки A и B лежат в одном меридиане или в
разных меридианах, но имеют одинаковые широты).
Проведем плоскость через точки A,na
и B (рис.2.2). Очевидно, эта плоскость, в
которой лежит нормаль Ana, будет нор-
мальной плоскостью в точке A и прохо-
дящей через точку B. В пересечении с
поверхностью эллипсоида она даст кри-
вую AaB, которая называется прямым
нормальным сечением в точке A на
точку B.
Проведем теперь плоскость через
точки B,nb,A. Она является плоскостью
нормального сечения в точке B, которое
Рис.2.2
проходит также через точку A. Эта плос-
кость пересечет поверхность эллипсоида по кривой BbA, которая не совпадает с
кривой AaB.
Эти две кривые AaB и BbA называются взаимно обратными нормальными
сечениями.
32
Следовательно, между двумя точками A и B на эллипсоиде проходят два
нормальных сечения:
— AaB, которое называется прямым нормальным сечением для точки A и об-
ратным нормальным сечением для точки B;
— BbA, которое будет прямым нормальным сечением для точки B и обратным
для точки A.
Плоскости нормальных сечений имеют важное значение для угловых изме-
рений.
Представим, что в точке A установлен теодолит так, что его вертикальная
ось совпадает с нормалью Ana. Тогда при наведении трубы на точку B визирная
плоскость совпадает с плоскостью прямого нормального сечения и на поверхно-
сти эллипсоида даст кривую AaB. При визировании с точки B на точку A визир-
ная плоскость пересечет поверхность эллипсоида по кривой BbA, которая, как
установлено ранее, не совпадает с кривой
AaB.
Пусть в точке A при помощи теодолита
кроме точки B наблюдалась еще точка C (рис.
2.3). В этом случае визирная плоскость пере-
сечет поверхность эллипсоида по кривой
AaC, которая является прямым нормальным
сечением в точке A на точку C.
Измеренный горизонтальный угол в точке
A является мерой двугранного угла, образо-
ванного нормальными плоскостями в точке A
и проходящими через точки B и C. На по-
верхности эллипсоида этому углу соответст-
вует угол между прямыми нормальными се-
Рис.2.3
чениями в точке A на точки B и C. Следова-
тельно, измеряемые в триангуляции углы
треугольников на эллипсоиде являются углами между прямыми нормальными
сечениями в данной точке.
Возьмем на поверхности эллипсоида треугольник триангуляции ABC, в кото-
ром измерены все углы (рис.2.4). Измеренные углы между плоскостями прямых
нормальных сечений показаны дугами. Вследствие двойственности взаимных
нормальных сечений измеренные горизонтальные углы не образуют на поверх-
ности эллипсоида замкнутый треугольник.
Угловое расхождение нормальных сечений определяется следующей при-
ближенной формулой
2. Кривые на эллипсоиде вращения
33
ρ′′ s 2 2
∆ ′′ =
e cos 2 B m sin 2 A ,
2
4 Nm
(2.5)
где: s- длина кривой нормального сечения;
Nm — радиус кривизны первого вертикала в середине нормального сечения;
Bm — средняя широта нормального сечения;
A — азимут прямого нормального сечения.
Максимальной величины ∆ достигает при Bm=0° и A=45° и для различных
расстояний будет иметь следующие значения:
s,км
∆,сек
200
0,339
100
0,085
50
0,021
Максимальное линейное расхождение между нормальными сечениями вы-
ражается формулой:
1
q = s∆ .
4
Рис.2.4
(2.6)
При S=1ООкм и B=A=45 получим
q=О.ОО6м.
Несмотря на весьма малое угловое
и линейное расхождение, все же ис-
пользование
нормальных
сечений
вследствие их двойственности создает
неудобства при производстве геодези-
ческих вычислений.
Чтобы избежать неопределенности
в построении треугольников на эллип-
соиде, необходимо использовать кри-
вые линии, построение которых выпол-
няется однозначно. Такими кривыми на
поверхности
эллипсоида
являются
геодезические линии.
2.2 Понятие о геодезической линии
Геодезическая линия есть линия кратчайшего расстояния между точка-
ми по поверхности земного эллипсоида.
На эллипсоиде она играет такую же роль, как прямая на плоскости или дуга
большого круга на сфере.
34
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии‫ב‬
Из определения геодезической линии как кратчайшей кривой между двумя
точками на поверхности земного эллипсоида, следует и иное определение: гео-
дезическая линия на поверхности — такая кривая, в каждой точке которой
соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности в
этой точке (рис.2.5) .
Соприкасающаяся плоскость — это предельное положение плоскости, прохо-
дящей через 3 ближайшие точки кривой M, N, P, когда N стремится к M, и P — к
M. Соприкасающаяся плоскость содержит в себе касательную к данной кривой.
Рис.2.5
Из этих определений можно представить следующий способ построения
геодезической линии. Установим в точке Q теодолит так, чтобы его вертикаль-
ная ось совпадала с нормалью Qn1 к поверхности эллипсоида в точке Q
(рис.2.6). В заданном направлении отметим на поверхности эллипсоида точку a,
близкую к Q. Перенесем теодолит в точку a и установим так, чтобы его верти-
кальная ось совпала с нормалью an2, наведем трубу на точку Q и, повернув али-
даду на 180°, отметим на поверхности эллипсоида точку b, близкую к a. Затем
установим теодолит в точке b так, чтобы его вертикальная ось совпала с норма-
лью bn3, и наведем трубу на точку a, переведем алидаду на 180° и отметим точ-
ку c, близкую к b и т.д. до тех пор пока не подойдем к нужной точке.
Предполагая, что точки Q,a,b,c отмечались на бесконечно близких расстоя-
ниях, получим на эллипсоиде геодезическую линию. Действительно, плоскость
2. Кривые на эллипсоиде вращения
35
Qabn2 является соприкасающейся в точке a. В этой
плоскости лежат отрезки aQ и ab, которые можно
рассматривать как касательные в точке a; в этой же
плоскости лежит нормаль an2. То же самое будет
иметь место в точках b,c,d и т.д. Следовательно, ус-
ловия, определяющие геодезическую линию, соблю-
дены, т.е. нормаль к поверхности лежит в соприка-
сающейся плоскости в каждой точке кривой. Норма-
ли Qn1, an2, bn3 и т.д. пересекают малую полуось в
разных точках, поэтому плоскости Qabn2, abcn3,
bcdn4 не совпадут между собой и точки Q,a,b,c,d да-
дут на поверхности эллипсоида непрерывную линию
двоякой кривизны.
Если конечные точки не лежат на одном мери-
диане или на одной параллели, геодезическая линия
располагается между нормальными сечениями, как
Рис.2.6
показано на рис.2.7. Геодезическая линия в начале
своего пути от точки A к точке B располагается бли-
же к прямому сечению AaB, находясь на 1/3 расхождения между взаимными
нормальными сечениями в точке A; по мере продвижения к точке B геодезиче-
ская линия приближается к обратному сечению и на равном расстоянии между A
и B располагается посредине между обоими нормальными сечениями; в точке B
она снова делит угол между взаимными нормальными сечениями в отношении
1:3, но находится уже ближе к сечению BbA.
Рис.2.7
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии‫ב‬
36
Следовательно
1
ρ′′ s 2 2
e cos 2 B m sin 2 A .
δ ′′ = ∆ ′′ =
2
3
12 N m
(2.7)
Из формулы (2.7) вытекает, что наибольшее абсолютное значение δ будет
при азимутах, равных 45°,135°,225°,315°.
При Bm =0° и A=45° значения δ равны
δ,сек
200
0.113
100
0.028
50
0.007
Из приведенных величин ясно, что расхождениями между геодезической ли-
нией и прямым нормальным сечением во многих случаях можно пренебречь.
При азимуте A, равном 0° или 180°, когда конечные точки геодезической ли-
нии лежат на одном меридиане, геодезическая линия совпадает с нормальным
s,км
сечением, и значение δ будет равно нулю.
Когда две точки лежат на одной параллели и азимут близок к 90° или 270°,
нормальные сечения совпадают между собой, а геодезическая линия распола-
гается несколько севернее нормальных сечений (ближе к полюсу). В этом слу-
чае геодезическая линия касается нормальных сечений в конечных точках и по-
этому значение δ будет равно 0. Последнее не следует из формулы (2.7), а до-
казывается в фундаментальных курсах сфероидической геодезии.
Разность длин ∆S нормального сечения и геодезической линии выражается
следующей формулой:
ae4 s 5
∆S =
cos 4 B m sin2 2 A .
5
360 N m
(2.8)
При S=600км ∆S составляет всего 0.007 мм и, следовательно, разностью
длин геодезической линии и нормального сечения можно пренебречь во всех
случаях геодезической практики.
2.3 Упрощенный вывод основного уравнения геодезической линии
Как было ранее показано в 1.7, при перемещении вдоль любой кривой на по-
верхности эллипсоида изменение широты и долготы характеризуется двумя
дифференциальными уравнениями (1.25) и (1.26).
Определим теперь, как изменяется азимут вдоль геодезической линии.
2. Кривые на эллипсоиде вращения
37
Рассмотрим элементарный полярный тре-
угольник KFP (рис.2.8), образованный дугами
меридианов KP и FP, а также элементарной
дугой геодезической линии ds. Пусть направ-
ление начального элемента ds из точки K за-
дано азимутом A.
Проведем из точки F элементарную дугу
параллели FC. Точки F и C будут иметь одну и
ту же широту. Разности широт и долгот точек
K и F обозначим через dB и dL, сближение ме-
ридианов в точке F — через dA.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
PCF. Применим к нему правило Непера, имея
в виду, что угол при вершине F равен 90°-dA, а
сторона FP равна 90°-B
Рис.2.8
cos(90 — B ) = ctgdL ctg (90 — dA) ;
tgdL sin B = tgdA.
Ввиду малости углов dL и dA
dA = dL sin B .
(2.9)
С учетом формулы (1.26) можем записать
dA =
sin A sin Bds sin A tgBds
=
.
N cos B
N
(2.10)
Из (1.25), (1.26) и (2.10) напишем
dB cos A V 3
cos A ;
=
=
ds
M
c
sin A
dL
V
=
= sin A sec B ;
ds N cos B c
dA sin A tgB V
=
= sin A tgB . 
ds
N
c
(2.11)
Система уравнений (2.11) имеет важное значение в сфероидической геоде-
зии, т.к. она представляет собой исходные дифференциальные уравнения для
решения прямой и обратных геодезических задач на поверхности эллипсоида.
Докажем важную теорему для геодезической линии: Произведение радиуса
параллели на синус азимута в каждой точке геодезической линии — величина
постоянная, т.е.
r sin A = const .
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии‫ב‬
38
Согласно формуле (1.12) можем записать
-dr = M dB sin B .
(2.12)
Из формулы (1.25)
cos A = M
dB
.
ds
(2.13)
Умножим обе части уравнения (2.13) на rdA
r cos A dA = M r
dB
dA .
ds
(2.14)
Подставим в правую часть dA из формулы (2.9)
r cos A dA = M r
dB
dL sin B .
ds
(2.15)
Из формулы (1.26) с учетом, что r=NcosB, запишем
sin A = N cos B
dL
dL
=r
.
ds
ds
(2.16)
Умножим уравнение (2.16) на dr и в правой части заменим dr из (2.12)
sin A dr = rdr
sin A dr = -M r
dL
;
ds
dB
dL sin B .
ds
(2.17)
Сложим уравнения (2.15) и (2.17)
r cos A dA + sin A dr = 0 .
(2.18)
В левой части получен полный дифференциал, интеграл которого равен
rsinA, а поскольку правая часть (2.18) равна 0, то
r sin A = const .
(2.19)
Следовательно, теорема доказана.
Уравнение (2.19) получено Клеро и представляет собой основное уравне-
ние геодезической линии на поверхности эллипсоида вращения.
 
 
    Скачать с Depositfiles