Решение сферических треугольников по теореме Лежандра

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
3.2.1 Решение сферических треугольников по теореме Лежандра
В 1787 году французский ученый А.Лежандр доказал теорему, которая гла-
сит: Если стороны плоского и сферического треугольников равны между со-
бой, то углы такого плоского треугольника равны соответствующим углам
сферического треугольника, уменьшенным на 1/3 сферического избытка.
Пусть дан сферический треугольник ABC (рис.3.1,а) со сторонами a, b и c,
выраженными в линейных единицах. По сторонам a, b, c построим плоский тре-
угольник A1, B1, C1 (рис.3.1,б). Углы сферического треугольника равны A, B и C,
а углы плоского — A1 ,B1 и C1. Требуется определить разности между углами
сферического и плоского треугольников, т.е.
∆A=A-A1,
∆B=B-B1,
∆C=C-C1.
Рис.3.1
Обозначим через R радиус шара, на котором построен сферический тре-
угольник, и выразим стороны сферического треугольника в радианной мере
 a   b  c 
  ,   ,   . Тогда по теореме косинусов сторон для сферического тре-
 R  R  R
угольника имеем:
 a
 b
 c
 b  c 
сos  = cos  cos  + sin  sin  cos A ,
 R
 R
 R
 R  R
откуда
3. Решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида
41
 a
 b
 c
сos  − cos  cos 
 R
 R
 R
.
cos A =
 b  c
sin  sin 
 R  R
Учитывая, что величины
(3.1)
 a   b  c 
  ,   ,   при длинах сторон порядка 40-50
 R  R  R
км и среднем радиусе эллипсоида около 6400 км величины первого порядка ма-
лости, разложим синусы и косинусы больших дуг в ряд, ограничиваясь членами
четвертой степени.
Учитывая, что
z2 z4
cos z = 1 −
+ − …
2! 4!
z3
sin z = z − + … ,
3!
и
получим
a2
a4
b2
b4  
c2
c4 
− 1 − 2 +
1− 2 +
 1 − 2 +
4
4
4
2R
24 R  2 R
24 R   2 R
24 R 
.
cos A =
3 
3 
b b
c
c
 − 3 − 3
 R 6R   R 6R 
Раскроем скобки, и ограничиваясь заданной точностью (не выше четвертой
степени), получим
cos A =
a2
2R
2
+
a4
24 R
4
+
b2
2
b4
4
+
c2
2R
24 R
2R
2
2
bc  b + c
1 −
2
2
R 
6R 
2
c4
24 R
4
b2c2
4R4 .
Сгруппировав члены с одинаковыми показателями степени будем иметь
b 2 + c 2 − a 2 a 4 − b 4 − c 4 − 6b 2 c 2
+
2bc
24 R 2 bc
.
cos A =
2
2
b +c
1−
6 R2
Раскладывая знаменатель в биноминальный ряд и ограничиваясь членами
меньше четвертой степени, получим
 b2 + c 2 
1 −
6R2 
−1
b2 + c 2
,
= 1+
6R2
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии‫ג‬
42
и можем записать
 b 2 + c 2 − a 2 a 4 − b 4 − c 4 − 6b 2 c 2   b 2 + c 2 
+
cos A = 
 1 +
.
2
2
2bc
24 R bc
6R 

Перемножив и приведя подобные члены с заданной точностью, получим
b 2 + c 2 − a 2 a 4 + b 4 + c 4 − 2a 2 b 2 − 2a 2 c 2 − 2b 2 c 2
cos A =
.
+
2
2bc
24 R bc
(3.2)
Рассмотрим теперь плоский треугольник. Для него по формулам плоской
тригонометрии можем записать
b2 + c 2 − a 2
.
cos A1 =
2bc
Тогда
sin 2 A1 = 1 − cos 2 A1 =
(3.3)
(
4b 2 c 2 − b 2 + c 2 − a 2
)
2
2 2
4b c
=
− a 4 − b 4 − c 4 + 2a 2 b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2
.
=
2 2
4b c
(3.4)
Сравнив формулы (3.3) и (3.4) с (3.2), видим
cos A = cos A1 −
bc
6R
cos A − cos A1 = −
sin 2 A1 или
2
bc
6 R2
sin 2 A1 .
(3.5)
Из тригонометрии известно, что
cos α − cos β = −2 sin
α +β
α −β
.
sin
2
2
С учетом данной формулы перепишем выражение (3.5)
− 2 sin
A + A1
A − A1
bc
sin
= − 2 sin 2 A1.
2
2
6R
(3.6)
Учитывая, что разность (A-A1) -величина малая, можно принять
sin
A − A1 A − A1
;
2
2
sin
A + A1
≈ sin A1 ,
2
и переписать формулу (3.6) следующим образом
A − A1 =
bc
6 R2
sin A1 .
(3.7)
3. Решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида
Величина
43
1
bc sin A1 = P является площадью треугольника A1B1C1 , поэто-
2
му
1 P
∆A = ( A − A1 ) = ρ 2 .
3 R
(3.8)
По аналогии
1 P
∆B = ( B − B1 ) = ρ 2 ,
3 R
1 P
∆C = ( C − C1 ) = ρ 2 .
3 R
(3.9)
(3.10)
Почленно суммируя равенства (3.8) — (3.10), получим
( A + B + C) − ( A1 + B1 + C1 ) = ρ
Зная, что
P
R
2
.
A1 + B1 + C1 = 180 °,
( A + B + C) = 180°+ρ
P
R2
= 180°+ ε ,
где ε-сферический избыток, который вычисляется по одной из формул:
ε=ρ
P
R2
=
ρ
2 R2
bc sin A1 =
ρ
2 R2
ac sin B1 =
ρ
2 R2
ab sin C1 .
(3.11)
Исходя из формул (3.8),(3.9),(3.10), с учетом (3.11) получаем искомые зна-
чения плоских углов
1 
A1 = A − ε ,
3
1 
B1 = B − ε ,
3 
1 
C1 = C − ε .
3 
(3.12)
Углы A1,B1,C1 называются плоскими приведенными углами.
Для вычисления сферических избытков, строго говоря, необходимо исполь-
зовать углы плоского треугольника, которые нам неизвестны. Как показывают
исследования, при длинах сторон до 90 км для вычисления
ε можно пользо-
ваться сферическими углами, допуская ошибку в вычислениях избытка не более
0.0005″.
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии‫ג‬
44
Для общей ориентировки приведем числовые значения сферических избыт-
ков при различных длинах сторон для равносторонних треугольников:
s,км
ε′′
Запишем формулы для вычисления сферического избытка в следующем ви-
де:
ε ′′ = fbc sin A1 = fac sin B1 = fab sin C1 ,
ρ′′
,
f =
2
2 Rm
где:
(3.13)
(3.14)
Rm -средний радиус кривизны, вычисленный по средней широте B, на кото-
рой расположен треугольник ABC.
Следовательно, величины f зависят от широты (табл.3.1), но для территории
нашей страны с достаточной точностью можно принимать f =0,00253.
Таблица 3.1
B, градус f B, градус f B, градус f
36 0.0025404 46 0.0025345 56 0.0025287
38 392 48 333 58 276
40 381 50 322 60 266
42 369 52 310 62 256
44 357 54 299 64 246
Формулы (3.12) выражают теорему Лежандра для малых сферических тре-
угольников, стороны которых не превышают 200 км. В этом случае ошибки вы-
числения плоских углов треугольника будут не более 0.001″.
Значение теоремы Лежандра заключается в том, что она позволяет при ре-
шении малых сферических треугольников использовать формулы плоской три-
гонометрии.