Решение сферических треугольников способом аддитаментов, Решение треугольников трилатерации

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
3.2.2 Решение сферических треугольников способом аддитаментов
Этот способ предложен немецким ученым И.Зольднером в 1820г. Сущность
способа состоит в решении треугольников по формулам плоской тригонометрии
с использованием сферических углов и сторон, исправленных специальными
поправками — аддитаментами (от слова addition)
Сохраняя прежние обозначения углов и длин сторон сферического треуголь-
ника, выразим стороны в радианной мере и, применяя теорему синусов, запи-
шем:
3. Решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида
45
 c
 b
 a
sin  sin  sin 
 R
 R
 R
=
.
=
sin A
sin B
sin C
(3.15)
Пусть сторона a известна. В соответствии с формулой (3.15) найдем сторону
b:
 a
sin  sin B
 R
 b
.
(3.16)
sin  =
 R
sin A
Раскладывая синусы малых величин (b/R) и (a/R) в ряд и ограничиваясь
двумя членами разложения, получим:
1
b3  1 
a 3  sin B
.
b− 2 = a − 2
R
6R  R 
6 R  sin A
(3.17)
Введем обозначения
Aa =
a3
6 R2
Ab =
;
a ′ = a − Aa ;
b3
6 R2
Ac =
;
c3
(3.18)
c ′ = c − Ac 
b′ = b − Ab
; (3.19)
6 R2
Величины Aa, Ab, Ac будем называть аддитаментами.
Тогда с учетом формулы (3.17) получим
b′ = a ′ sin B (3.20)
             . 
             sin A 
c′ = a ′ sin C (3.21)
             . 
             sin A 
По аналогии
Формулы (3.20) и (3.21) представляют собой формулы плоской тригономет-
рии, но в них использованы сферические углы A, B, C и стороны, исправленные
аддитаментами
равны:
Aa, Ab, Ac. Искомые стороны сферического треугольника будут
b = b′ + Ab ;
c = c ′ + Ac .
Порядок вычислений при применении способа аддитаментов следующий:
1) по исходной стороне
a вычисляют ее аддитамент Aa , который вычитают
из нее и получают a’;
a’ и сферические углы, вычисляют по
формулам (3.20) и (3.21) значения b’ и c’;
2) используя полученное значение
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии‫ג‬
46
3) по найденным сторонам b’ и c’ определяют их аддитаменты Ab,
Ac;
4) прибавляя к b’ и c’ их аддитаменты, получают искомые значения сторон
сферического треугольника, выраженные в линейной форме.
В общем случае в формулах (3.18) средний радиус кривизны определяется по
средней широте сети треугольников и принимается постоянным в пределах из-
менения широты до 5° (около 1000 км).
В том случае, когда длины сторон треугольников не превышают 100 км, адди-
таменты вычисляют по формулам
Aa = ka 3 ;
Ab = kb3 ;
Ac = kc 3 ,
(3.22)
где k-коэффициент, который можно принимать постоянным на территории
всей страны. Если выразить длины сторон при вычислении аддитаментов в ки-
лометрах, аддитаменты в метрах, то величина k равна 409⋅10-8.
 
3.2.3 Решение треугольников трилатерации
Для треугольника трилатерации со сторонами , редуцированными на по-
верхность эллипсоида, решение состоит из следующих операций:
1) принимая треугольник как плоский, вычисляют углы «плоского треугольни-
ка» по формулам косинусов:
b2 + c 2 − a 2
,
cos A1 =
2bc
a 2 + c 2 − b2
,
cos B1 =
2ac
a 2 + b2 − c 2
.
cos C1 =
2ab
2) определяют сферический избыток по формуле (3.13).
3) исходя из теоремы Лежандра вычисляют углы сферического треугольника
1 
A = A1 + ε ,
3
1 
B = B1 + ε ,
3 
1 
C = C1 + ε .
3 