Пути и способы решения главных геодезических задач

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
3.4 Пути и способы решения главных геодезических задач
Существуют два основных пути решения прямой и обратной геодезической
задач: прямой и косвенный.
Прямой путь заключается в непосредственном решении сфероидического
треугольника Q1PQ2 (рис.3.2) по двум сторонам и углу между ними.
В прямой задаче известны стороны Q1P=90°-B1,Q1Q2=s и угол A12. Из реше-
ния треугольника определяются остальные элементы:
— разность долгот l, служащая для определения долготы L2;
— сторона Q2P=90°-B2 ,служащая для определения широты B2;
— угол Q1Q2P, по которому вычисляется азимут A21=360°-∠Q1Q2P.
В обратной задаче известны стороны Q1P=90°-B1, Q2P=90°-B2 и разность
долгот l =L2 -L1 . Из решения треугольника находятся:
— сторона Q1Q2=s;
— угол A12;
— угол Q1Q2P, с использованием которого вычисляется азимут A21=360°-
∠Q1Q2P.
Сложность данного пути решения состоит в том, что длины сторон Q1P и Q2P
достигают несколько тысяч километров( например, при расположении стороны
Q1Q2 на широте 50° стороны Q1P и Q2P будут порядка 4000 км) и поэтому
∆Q1PQ2 нужно рассматривать только как сфероидический. Для решения сфе-
роидических треугольников нет конечных замкнутых формул, так как их стороны,
представляющие дуги меридианов и параллелей или геодезические линии на
поверхности эллипсоида, выражаются эллиптическими интегралами, не опре-
деляющимися в элементарных функциях.
Поэтому на практике, особенно при вычислении с небольшими длинами сто-
рон (например, в триангуляции), предпочитают применять более простые кос-
венные методы решения главных геодезических задач.
Косвенный путь решения главных геодезических задач заключается в оты-
скании малых разностей широт, долгот и азимутов:
∆B = B2 − B1 ,
∆L = L2 − L1 ,
∆A = A21 − A12 ± 180 °.
(3.24)
Следовательно, в этом случае необходимо получить формулы для вычисле-
ния величин
∆B, ∆L, ∆A, после этого определяемые координаты (например,
при решении прямой задачи) находят по формулам
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии‫ג‬
50
L2 = L1 + ∆L = L1 + ( L2 − L1 )
A21 = A12 + ∆A = A12 + A21 − A12 ± 180o 
B2 = B1 + ∆B = B1 + ( B2 − B1 )
(
(3.25)
)
Раннее были получены уравнения (2.11), связывают между собой четыре
переменные: B, L, A и s, из которых длина геодезической линии s принята в ка-
честве независимой переменной. Формулы (2.11) представляют собой систему
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Они дают воз-
можность определить разности (B2-B1), (L2-L1) и (A21-A12 +180°) путем интегриро-
вания между двумя точками на эллипсоиде. Интегрируя по дуге s между точками
Q1 и Q2, получаем:
s
V
L2 − L1 = ∫ sec B sin Ads,
(3.26)
Эти интегралы не выражаются в интегральных функциях. Поэтому точные их
значения неизвестны.
Для приближенного вычисления интегралов применяют разложения в ряды
или самих интегралов, или подынтегральных функций с последующим почлен-
ным интегрированием каждого ряда.
Рассмотрим первый путь интегрирования. Разложим интегралы (3.26) в сле-
дующие ряды по степеням дуги s.
(3.27)
3. Решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида
51
Индекс внизу скобок указывает на то, что частные производные берутся в
начальной точке.
После подстановки в формулы (3.27) частных производных получаются ра-
бочие формулы в виде рядов. Естественно, возникает вопрос о том, сколько
членов ряда необходимо для получения решения с заданной точностью. Для
этого введем понятие малой величины первого порядка. За эту величину при-
s
. Малой величиной n-го порядка будет
нимают отношение
R
n
 s  . Тогда необ-
 
 R
ходимое число членов рядов равно такому порядку малости n, которое соответ-
ствует требуемой точности вычислений.
Возьмем сторону триангуляции 1-го класса со стороной
величины
s =20 км и вычислим
( s R) n (табл.3.2).
Таблица 3.2
Выражение малой величины
Порядок ма- ( s R) n 1 1/2⋅10-2 2 1/4⋅10 -4 5
         лости 
1/8⋅10 -6 0.02
в секундах
3
4
1/16⋅10
-8
ρ′′( s R)
n
1000
0.001
Из таблицы следует, что при s< 30 км для решения главных геодезических
задач нужно учитывать четыре первых члена разложения. При s>30 км возника-
ет необходимость удерживать большее количество членов.
Первые члены рядов (3.27) вычисляют по формулам (2.11). Остальные ко-
эффициенты находят последовательным дифференцированием первых коэф-
фициентов по переменным В и А как сложных функций. Например:
 dB 
 dB 
∂ 
∂ 
2
Окончательные формулы для второй и третьей производной широты имеют
вид:
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии‫ג‬
52
d 2B
ds 2
3η2 cos 2 A + sin 2 A ,
MN
[
1
d 3B
cos A sin 2 A 1 + 3tg 2 B + η2 − 9η2 tg 2 B +
+ 3η2 cos 2 A 1 − tg 2 B + η2 − 5η2 tg 2 B .
Как видно из приведенных формул, вычисление коэффициентов в рядах
(3.27) весьма затруднительно. Используя некоторые рациональные приемы,
формулы (3.27) можно преобразовать так, что они будут достаточно простыми
как для ручного счета, так и для счета на ЭВМ. Поэтому на практике широко ис-
пользуются известные методы решения задач:
-метод вспомогательной точки;
-метод Гаусса, основанный на разложении в ряд по среднему аргументу.
В первом случае вводят вспомогательную точку на меридиане начальной
точки геодезической линии. Тогда ряды, примененные к линиям между началь-
ной и вспомогательной, а также между вспомогательной и конечной точками,
примут весьма простой вид. Во втором случае данные (B,A) задаются не для
начальной, а для средней точки геодезической линии. Поэтому число членов
ряда уменьшается в два раза.
В настоящее время, в связи с широким использованием ЭВМ, появилась
возможность использовать методы численного решения дифференциальных
уравнений. Наибольшее распространение получил метод Рунге-Кутта, а также
его модификации — метод Рунге-Кутта-Ингланда и метод Рунге-Кутта-Мерсона.