Решение прямой геодезической задачи по способу вспомогательной точки (формулы Шрейбера), Решение геодезических задач по формулам со средним аргументом

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
3.5 Решение прямой геодезической задачи по способу вспомогательной точки (формулы Шрейбера)
Данный способ применяется для решения прямой геодезической задачи на
малые расстояния, в частности в сетях триангуляции 1 класса. Подробное рас-
смотрение метода можно найти в [3,4]. Ниже приводятся окончательные форму-
лы из работы [3].
Исходные данные: B1 , L1 , A12 , s .
Искомые величины:
A21 = A12 ± 180o + ( t − ε )ρ′′ .
B2 = B0 − d ′′ ,
L2 = L1 − l ′′ ,
(3.28)
3. Решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида
Промежуточные вычисления:
s
σ = V12 ,
u0 = σ cos A12 , v0 = σ sin A12 ,
u = u0 1 +  ,
v = v 0 1 +  ,
B0 = B1 + ρ′′uV1 −
u(3 sin 2 B1 + 2u cos 2 B1 ) ,
γ= 2 ,
λ=
τ= λ sin B0 ,
cos B0
В данных формулах:
c — полярный радиус кривизны;
V1 ,V0 — вторые основные сфероидические функции, вычисляемые по фор-
муле (1.7) соответственно по широте B1 и B0.
Эти формулы позволяют при расстояниях между пунктами не более 100 км
определять геодезические координаты с точностью до 0.0001″ и азимуты с точ-
ностью до 0.001″.

3.6 Решение геодезических задач по формулам со средним аргументом (способ Гаусса)
C, расположенную на средине кривой Q1Q2 (рис.3.3). Если
длина геодезической линии Q1Q2 равна s, то точка C будет находиться от точек
Q1 и Q2 на одинаковом расстоянии s/2. Обозначим координаты точки C через
B0, L0 и азимут геодезической линии в этой точке через A12.
Запишем ряды для вычисления разности широт точек Q1 и C, а также Q2 и C
по аналогии с первой формулой (3.26), принимая точку C за начальную
Возьмем точку
1
Вычитая из второго ряда первый находим искомую разность широт точек
Q1
и Q2 с учетом членов четвертого порядка включительно
1  d 3B 3
 dB 
b = B2 − B1 =   s +  3  s ⋅ .
 ds  0
24  ds 
(3.31)
0
Рис.3.3
Аналогично, используя ряды для приращения долгот и азимутов, получим
Нулевой индекс в формулах (3.31)-(3.33) показывает, что производные
должны браться по B0 , L0 и A0.
Сравнение рядов (3.26) и (3.31)-(3.33) показывает несомненное преимущест-
во рядов со средними аргументами, а именно:
— члены с четными степенями исчезли;
— в оставшихся членах с нечетными степенями коэффициенты уменьшились
в несколько раз.
Поэтому новые ряды лучше сходятся и имеют более компактный вид.
3. Решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида
55
Значения B0 , L0 и A0 нам неизвестны, и поэтому целесообразно перейти к
средним значениям широты, долготы и азимута
L1 + L2
A12 ± 180o + A21
.
Lm =
Am =
,
2
2
Эти значения соответствуют точкам Bm , Lm и Am на рис.3.3, которые не сов-
падают между собой и с точкой C. Поэтому в формулах (3.31)-(3.33) необходимо
ввести поправки за разности ( Bm − B0 ) , ( Lm − L0 ) и ( Am − A0 ) .
B + B2
Bm = 1
,
2
С учетом указанных поправок окончательные формулы будут иметь вид
3
2
m
m
m
s и s3 в формулах (3.34)-(3.36) являются функциями
средней широты Bm и среднего азимута Am.
Все коэффициенты при
Если определить значения производных и подставить их в (3.34)-(3.36), то
получим так называемые полные формулы Гаусса со средней широтой и сред-
ним азимутом, не учитывающие лишь члены пятого порядка малости. Их приме-
няют для решения прямых и обратных геодезических задач при расстояниях до
200 км.
При выводе менее точных формул для s<30-40км могут быть отброшены
члены четвертого порядка малости. При этом условии после нахождения част-
ных производных, подстановки в уравнения (3.34)-(3.36) и приведения подобных
членов получим [2]:
Прямая геодезическая задача
С ошибкой на величины пятого порядка запись поправочных членов в фор-
мулах (3.37) можно упростить. Тогда
b
24ρ2
24ρ2 
(3.38)
Имея разности координат и азимутов, можно найти координаты конечной
точки и обратный азимут:
B2=B1+b ,
L2=L1+l ,
A21=A12 ± 180 +a .
(3.39)
При решении прямой задачи средние значения широт и азимутов являются
неизвестными. Неизвестны также разности b, l и a, необходимые для вычисле-
ния поправочных членов. Поэтому решение прямой задачи со средними аргу-
ментами может быть выполнено только способом последовательных приближе-
ний, причем в первом приближении принимается, что
Bm = B1 и Am = A12 или
же эти координаты определяют приближенно, например по картам.
Обратная геодезическая задача
При решении обратной задачи средние аргументы определяются просто, так
как известны координаты начальной и конечной точек. В этом случае сразу оп-
ределяются разности
b = B2 − B1 и l = L2 − L1 , а также средняя широта
Bm = ( B2 + B1 ) 2 . Тем самым основной недостаток решения прямой задачи,
3. Решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида
57
связанный с необходимостью применения метода последовательных прибли-
жений, в данном случае исключается. Из формулы (3.38) получим
 l 2 sin 2 Bm 
s sin Am = l cos Bm N m 1 +
 3b2 + 2l 2 − 2l 2 sin 2 Bm 
a = l sin Bm 1 +
 2l 2 + l 2 sin 2 Bm 
s cos Am = bM m 1 −
 = Q,
Решение задачи завершается применением следующих формул:
tgAm =
P
Q
(3.41)
s = Q cos Am + P sin Am = Q 2 + P2 , (3.42)
A12 = Am − a 2 , 
A21 = Am + a 2 ± 180o . (3.44)
(3.43)
По знакам числителя и знаменателя (3.41) определяют четверть, к которой
относится средний азимут
Am .