Решение главных геодезических задач методами численного интегрирования дифференциальных уравнений

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
3.7 Решение главных геодезических задач методами численного интегрирования дифференциальных уравнений

3.7.1 Общие сведения о численных решениях дифференциальных уравнений
Рассмотрим кратко общие вопросы численного интегрирования дифферен-
циальных уравнений. Пусть имеется обыкновенное дифференциальное уравне-
ние первого порядка
y′ =
dy
= f ( x , y) ,
dx
(3.45)
для которого известны начальные условия
y0 = f ( x0 ) .
(3.46)
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии‫ג‬
58
Когда прямое решение дифференциального уравнения в виде
y=f ′( x ) най-
ти трудно, прибегают к численному интегрированию, которое состоит в получе-
нии ряда значений
y1 , y2, ⋅⋅⋅, yn без определения вида функции y=f ′( x ) .
Следовательно, численные методы вместо отыскания функции
y=f ′( x ) по-
зволяют получить набор значений этой функции.
Один из простейших методов численного интегрирования — метод Эйлера —
основан на разложении функции
y=f ′( x ) в ряд Тейлора по степеням h:
h2
h3
h 4 IV
yi +1( xi + h) = yi ( xi ) + hy ′( xi ) +
y ′′( xi ) +
y ′′′( xi ) +
y ( xi ) + ⋅⋅⋅ (3.47)
2
6
24
где h = xi +1 − xi — шаг интегрирования.
При малом значении h третий и последующий члены ряда отбрасываются и
тогда получаем формулу Эйлера
yi +1 = yi ( xi ) + hy ′( xi )
или
yi +1 = yi ( xi ) + ∆yi ;
∆yi = hy ′( xi ) .
(3.48)
(3.49)
Геометрический смысл формулы Эй-
лера ясен из рис.3.4. Интегральная кри-
вая заменяется ломаной, звенья которой
имеют постоянную горизонтальную про-
h. Первое звено касается искомой
интегральной кривой в точке ( x0 , y0 ) .
екцию
Формулы (3.48) или (3.49) приводят к по-
лучению весьма приближенного резуль-
тата, состоящего из предыдущего значе-
ния y и произведения шага интегрирова-
ния на значение подынтегральной функ-
Рис.3.4
ции.
В практических задачах по численному интегрированию дифференциальных
уравнений широкое применение находят методы Рунге-Кутта, из которых наи-
большее распространение получил метод четвертого порядка, в котором ис-
пользуются разложения ряда (3.47), включая члены с h4.
Рабочие формулы метода Рунге-Кутта имеют следующий вид:
yi+1 =
1
( k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) ,
6
(3.50)
3. Решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида
где
k4 = hf ( xi + h , yi + k3 ).
Величины
(3.51)
ki представляют собой значение искомой функции y=f ′( x ) в
промежуточных точках с координатами (рис.3.5):
xi , yi ;
— в точке 2: xi + h , yi + k1 ;
— в точке 3: xi + h , yi + k2 ;
2
2
— в точке 4: x i + h , yi + k3 .
— в начальной точке 1:
Геометрический смысл этого метода легко прослеживается по последо-
вательности формул (3.51), из которых видно, что каждый шаг расчета пред-
ставляет собой, в сущности, шаг по методу Эйлера.
Сначала следует сделать шаг величины
h 2 из точки 1
( x i , y i ) под
углом
α1,
y1 = tgα1 = k1 h , и мы приходим в точку 2
( xi +h/ 2, yi +k1 / 2) . В этой точке вычисляет-
ся направление
tgα 2 =k2 /h и , делая шаг в
этом направлении, снова из точки 1 попадаем
в точку 3
( xi +h/ 2, yi +k2 / 2) . Затем по на-
tgα 3 =k3 /h снова из точки 1 де-
лается шаг величины h , который приводит в
точку 4 ( xi +h, yi +k3 ) , в которой вычисляет-
правлению
Рис.3.5
ся
tgα 4 =k 4 /h . Полученные четыре тангенса
усредняются с весами 1/6, 2/6, 2/6, 1/6 по фор-
муле (3.50) и по этому окончательному направлению делаем окончательный шаг
из
( x i , y i ) в ( xi +1 , yi +1 ) .
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии‫ג‬
60
В практике решения геодезических задач находят применение модификации
метода Рунге-Кутта. Это методы Рунге-Кутта-Мерсона и Рунге-Кутта-Ингланда.
Рабочие формулы для метода Рунге-Кутта-Мерсона имеет следующий вид:
(3.52)
а для метода Рунге-Кутта-Ингланда
 hf  x i + h , y i + k1  ,
k3 = hf  x i + h , y i + ( k1 + k 2 ) ,
k 4 = hf ( x i + h , y i − k 2 + 2k3 ) .
1
( k1 + 4k3 + k4 ),
6
k1 = hf ( x i , y i ) ,
y i +1 = y i +
(3.53)
По точности получаемых результатов оба этих способа равноценны, но спо-
соб Рунге-Кутта-Игланда несколько экономичнее по числу операций. Однако при
использовании современных ЭВМ это преимущество не является существен-
ным.

3.7.2 Решение прямой геодезической задачи по методу Рунге-Кутта-Мерсона
Применим метод Рунге-Кутта-Мерсона для численного интегрирования трех
дифференциальных уравнений (2.11),которые представим в таком виде:
3. Решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида
c
1 + e′ cos B 2 ,
f L ( B , A) =
c cos B
f A ( B , A) = f L ( B , A) sin B .
(3.54)
Заданными начальными значениями искомых функций в точке s=0 служат
координаты
B1 , L1 и азимут A1 .
Примем один шаг интегрирования
h=s. Координаты и обратный азимут в ко-
нечной точке линии s определяются по формулам
A2 = A1 + ∆A1 + 4∆A4 + 4∆A5 ± 180o .
В выражениях (3.52) ki заменим для аргумента широты через ∆Bi , а для ар-
гумента азимута — через ∆Ai . Тогда
B2 = B1 + ∆B1 + 4∆B4 + 4∆B5 ,
L2 = L1 + ∆L1 + 4∆L4 + 4∆L5 ,
∆Bi = σ cos α iVi3 ,
∆Bi = ∆Li sin φ i , 
6c
Значения текущих переменных φ i и α i , используемых при вычислениях
функций f B и f L представлены в таблице 3.3.
Таблица 3.3 — Значения текущих переменных φ i и α i при вычислениях спо-
σ=
где i =1,2,3,4,5;
собом Рунге-Кутта-Мерсона
B1
B1 + 2∆B1
B1 + ∆B1 + ∆B2
B1 + ∆B1 + ∆B3
4
4
B1 + 3∆B1 − 9∆B3 + 12∆B4
αi
A1
A1 + 2∆A1
A1 + ∆A1 + ∆A2
3
9
A1 + ∆A1 + ∆A3
4
4
A1 + 3∆A1 − 9∆A3 + 12∆A4

3.7.3 Решение прямой геодезической задачи способом Рунге-Кутта-Ингланда
В соответствии с выражениями (3.53) приведем рабочие формулы, позво-
ляющие реализовать данный метод
1
( ∆B1 + 4∆B3 + ∆B4 ), 
L2 = L1 + ( ∆L1 + 4∆L3 + ∆L4 ) , 
A2 = A1 + ( ∆A1 + 4∆A3 + ∆A4 ) ,
B2 = B1 +
(3.57)
где
∆Bi = ρ′′Vi cos α i = s0Vi cos α i ,
sin α i
sin α i
∆Li = ρ′′Vi3
= s0Vi3
,
 (3.58)
c
cos φ i
cos φ i
s
sin α i
sin α i
sin φ i = s0Vi3
sin φ i = ∆Li sin φ i .
∆Ai = ρ′′Vi3
c
cos φ i
cos φ i
Формулы для вычислений значений текущих переменных представлены в
таблице 3.4.
Таблица 3.4 — Значения текущих переменных
φi
и
α i при вычислениях спо-
собом Рунге-Кутта-Ингланда
αi
B1 A1
1 1
B1 + ∆B1 A1 + ∆A1
  2 2
  1 1
  B1 + ( ∆B1 + ∆B2 ) A1 + ( ∆A1 + ∆A2 )
      4 4
      B1 + 2∆B3 − ∆B2 A1 + 2∆A3 − ∆A2
 
 
    Скачать с Depositfiles