Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крягера, Применение плоских координат в геодезии

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
4. СИСТЕМА ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА-КРЮГЕРА

4.1 Применение плоских координат в геодезии
Конечной целью любых геодезических построений является определение
положения геодезических пунктов на поверхности принятого референц-
эллипсоида. Положение пунктов может быть определено в различных системах
координат. В предыдущей главе были рассмотрены методы решения задач по
определению взаимного положения точек на поверхности земного эллипсоида в
системе геодезических координат.
Система геодезических координат имеет ряд достоинств: едина для всей по-
верхности Земли, удобна для решения научных задач высшей геодезии и по-
этому в этой системе обычно обрабатывают геодезические сети 1 класса. Одна-
ко в практической деятельности (при проектировании и строительстве сооруже-
ний, при переносе проектов в натуру и т.д.) она неудобна. В этой системе вза-
имное положение точек выражается в угловых единицах; линейное значение
этих единиц в разных точках разное в зависимости от широты места; направле-
ния меридианов, от которых отсчитываются азимуты не параллельны между со-
бой; вычисления при помощи геодезических координат сложны и трудоемки.
Поэтому система эллипсоидальных геодезических координат применяется
только при мелкомасштабном картографировании. При крупномасштабном кар-
тографировании и в повседневной геодезической практике удобнее применять
систему плоских геодезических координат, так как она позволяет производить
все вычисления по наиболее простым формулам геометрии и тригонометрии.
Использование системы плоских прямоугольных координат облегчает выполне-
ние топографических съемок и картосоставительных работ. Кроме того, практи-
ческое применение топографических планов и карт делается значительно более
удобным, если на них нанесена сетка прямоугольных координат.
Для применения системы плоских прямоугольных координат необходимо по-
верхность эллипсоида изобразить на плоскости. Такое отображение его поверх-
ности, выполненное по тому или иному математическому закону, называется
картографической проекцией или просто проекцией. Детально различные
способы проектирования поверхности эллипсоида на плоскость рассматривают-
ся в курсе «Математическая картография».
Понятно, что поверхность эллипсоида не может быть развернута на плос-
кость без искажений. Искажения тем значительнее и тем сложнее учитываемы,
чем больше изображаемая территория. Поэтому на практике в геодезии стара-
ются изображать на плоскости сравнительно небольшие участки земной по-
верхности, на которых искажения находятся в допустимых, легко вычисляемых и
устанавливаемых заранее пределах. В этом заключается особенность геодези-
64
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
ческого использования картографических проекций и отличие от использования
их в математической картографии, в которой изучают способы изображения
всей поверхности земного эллипсоида или же больших ее частей. Другим отли-
чием геодезических проекций является то, что они определяют условия точного
переноса на плоскость отдельных элементов поверхности эллипсоида (точек,
углов и линий), а не их совокупности в виде всей поверхности, как в картогра-
фии.
Математический закон отображения поверхности земного эллипсоида на
плоскости в общем виде может быть представлен уравнениями:
x = f1( B , L) 
(4.1)
(4.2)
где x,y — плоские прямоугольные координаты точки на плоскости, выражен-
ные как функции геодезических (B,L) или прямоугольных сфероидических коор-
динат (X,Y) этой точки на эллипсоиде.
Законов изображения поверхности эллипсоида на плоскости может быть
бесконечное множество. Каждый закон определяется видом функций f1 , f 2 или
F1 , F2 в уравнениях (4.1). В зависимости от вида этих функций каждый раз бу-
дем получать разные искажения.
По характеру искажения проекции делятся на следующие классы:
1) равноугольные — такие, где в каждой точке сохраняется равенство углов
в проекции и в натуре;
2) равновеликие (эквивалентные), в которых площади фигур в проекции
равны (или пропорциональны) площади этих фигур в натуре;
3) равнопромежуточные — в каждой точке по одному из главных направле-
ний (x или y) сохраняется равенство отрезков в проекции и в натуре;
4) произвольные — это проекции, не обладающие перечисленными выше
свойствами; они применяются при решении каких-либо специальных задач.
Функции f1 , f 2 или F , F2 необходимо выбрать так, чтобы обеспечить:
1
1) всю территорию государства единой системой плоских прямоугольных ко-
ординат для получения топографических планов в одной системе координат;
2) минимальное искажение поверхности эллипсоида при изображении ее на
плоскости;
3) легкость и простоту учета искажений при безусловной точности и строго-
сти учета этих искажений.
4. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера
65
Последнее требование особенно важно при переходе от числовых значений
геодезических координат на эллипсоиде к числовым значениям координат на
плоскости. Поправки за перенос элементов геодезических сетей с эллипсоида
на плоскость должны вычисляться с ошибками в 5-10 раз меньшими ошибок из-
мерений.
В геодезической практике оказалось удобнее всего использовать равно-
угольные проекции, так как в них сохраняется равенство углов, а следовательно
форма и подобие изображаемых фигур в их бесконечно малых частях.
Сформулированным выше требованиям удовлетворяет система прямо-
угольных координат Гаусса-Крюгера, основанная на принципе конформного
(равноугольного) изображения эллипсоида на плоскости, которая была приня-
та на территории СССР начиная с 1928 года
Краткая историческая справка
Известный немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) в 1820-30 гг. для численной
обработки Ганноверской триангуляции применил разработанную им конформную проекцию эл-
липсоида с постоянным масштабом на прямолинейном изображении одного из меридианов, но
в печати ее не опубликовал. Известно лишь, что формулы проекции в окончательном виде он
сообщил в частной научной переписке.
Теория проекции Гаусса впервые была опубликована О.Шрейбером в 1866 г. уже после
смерти Гаусса.
Более обстоятельное изложение теории проекции Гаусса с детальной разработкой рабо-
чих формул дал немецкий геодезист Л.Крюгер в своих работах, опубликованных в 1912 и 1919
гг. С тех пор эта проекция под названием конформной проекции Гаусса-Крюгера получила ши-
рокое распространение во многих странах.
Для удобства практического применения проекции Гаусса-Крюгера немецкий ученый
Г.Баумгарт в 1919 г. предложил ввести трехградусные зоны, ко всем ординатам прибавлять
500 км, а перед ординатой ставить порядковый номер зоны, счет которых начинается от
Гринвича.
В СССР система координат Гаусса-Крюгера была впервые применена Н.Г.Келлем при об-
работке триангуляции Кузбасса, а начиная с 1928г она была принята в качестве общесоюзной
системы координат при топографо-геодезических работах. При этом были приняты предло-
жения Г.Баумгарта, но вместо 3-градусных зон были установлены 6-градусные зоны.
В настоящее время в системе плоских прямоугольных координат выполняется обработка
всех геодезических сетей, начиная с сетей второго класса и ниже, а также составляются то-
пографические планы и карты всех масштабов до 1:1 000 000.