Сущность проекции Гаусса

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
4.2 Сущность проекции Гаусса
Для понимания сущности проекции Гаусса рассмотрим характер свойствен-
ных ей искажений на примере изображения шара на плоскости в сравнении с
равнопромежуточной проекцией И.Зольднера, как это сделано в [2].
Рис.4.1
Пусть положение точки A на шаре радиуса R задано сферическими коорди-
натами X и Y (рис.4.1). Тогда закон проектирования выражается вторыми зави-
симостями (4.1)
Предположим, что проектирование производится под условием равенства
сферических координат и плоских прямоугольных координат, т.е.
x = X;
y = Y.
(4.3)
Такой способ изображения поверхности шара на плоскости называется про-
екцией Зольднера.
Введем понятие: Масштабом проекции в данной точке по данному направ-
лению называется отношение бесконечно малого отрезка в проекции к этому же
отрезку в натуре (на эллипсоиде, на шаре). Это значит, что если в данной точке
ds и dD — бесконечно малые отрезки соответственно на эллипсоиде и плоско-
сти, то масштаб изображения равен
m=
dD
.
ds
(4.4)
В отличии от масштаба карт и планов масштаб проекции близок к 1.
Для выяснения характера искажений в проекции Зольднера возьмем на ша-
ре бесконечно малый круг с радиусом
бражение на плоскости проекции.
ρ и центром в точке A и найдем его изо-
4. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера
67
Для изображения точки A на плоскости проведем взаимноперпендикулярные
оси координат x и y. Отложим на этих осях от начала координат отрезки
x=X и
y=Y. Получим точки C’ и B’. В точке B’ восстановим перпендикуляр к оси y и от-
ложим отрезок B’A» длина которого равна длине дуги BA. Соединим точки C’ и
A». Полученный отрезок C’A» не перпендикулярен оси x , т.е. не выполняется ус-
ловие прямоугольности. Для достижения прямоугольности надо точку A» пере-
местить в точку A’. Теперь условие прямоугольности выполнено и x=X, y=Y, но
их надо откладывать по координатным осям.
Из рис.4.1 видно, что дугу BA при изображении ее на плоскости надо удли-
нить на величину A’A». Таким образом, круг в точке A’ на плоскости будет иска-
жен и изображаться эллипсом.
Согласно уравнению (4.3) и выполненным построениям
проекции в направлении оси у будет равен
y=Y, т.е. масштаб
my = 1 .
Рассмотрим масштаб по оси x. По определению масштаба
mx =
A’ B’
.
∪ AB
(4.5)
Исходя из выполненных построений на рис.4.1, можем записать
A’ B’ = O ‘ C ‘ = ∪ OC = Rδ .
(4.6)
Дуга AB является дугой малого круга и параллелью по отношению к дуге
большого круга OC. Поэтому радиус дуги AB, как радиус параллели, можно вы-
разить формулой
r = R cos
Y
.
R
(4.7)
Тогда длина дуги будет
∪ AB = rδ = R cos
Y
δ.
R
(4.8)
Подставим выражения (4.6) и (4.8) в формулу масштаба проекции в направ-
лении оси x (4.5), получим
mx =
Y
= sec .
Y
R
R cos δ
R
(4.9)
Так как Y/R — угол небольшой, разложим sec(Y/R) в ряд
Y2
mx = 1 + 2 + …
2R
(4.10)
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
68
Таким образом,
my = 1, mx > 1. Из-за этого круг на плоскости изображается
эллипсом с полуосями
Y2 
a = ρ1 +
 и b = ρ.
 2R2 
Раз это так, то рассмотренная проекция (проекция Зольднера) приводит к
искажению углов и длин линий. В этой проекции нет подобия фигур на плоско-
сти и на шаре, а масштаб меняется не только при переходе от точки к точке, но
и в одной точке по разным направлениям.
Для достижения равноугольности изображения поверхности шара (эллип-
соида) на плоскости необходимо, чтобы масштаб проекции оставался постоян-
ным по всем направлениям, тогда эллипс превратится в окружность.
В связи с этим в проекции Гаусса требуется
Y2
mx = my = 1 + 2 + …
2R
(4.11)
Это приводит к тому, что в проекции Гаусса увеличивается не только абс-
цисса, но и ордината.
С учетом выражения (4.11) уравнения проекции Гаусса для шара в функции
прямоугольных сферических координат будут иметь вид
x = X;
(4.12)
Y2 
Y3
y = ∫ mdY = ∫ 1 + 2  dY = Y + 2 .
(4.13)
При изображении поверхности эллипсоида на плоскости подобные уравне-
ния будут значительно сложнее.
Система координат Гаусса-Крюгера вполне определяется следующими ус-
ловиями:
1) изображение на плоскости равноугольное;
2) осевой меридиан изображается прямой линией, принимаемой за ось абс-
цисс; началом координат служит изображение точки пересечения начального
меридиана с экватором;
3) масштаб вдоль среднего (осевого) меридиана постоянный и принят рав-
ным единице.