Сущность задач, возникающих при переходе с поверхности эллипсоида на плоскость проекции, Условия конформного изображения поверхности эллипсоида на пло

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
4.4 Сущность задач, возникающих при переходе с поверхности эллипсоида на плоскость проекции
Общий порядок перехода с эллипсоида на плоскость следующий. Пусть на
эллипсоиде имеется треугольник триангуляции DCQ (рис.4.5). Исходный пункт D
имеет геодезические координаты
B и l, где l = L − L0 ; L и L0 — долготы точки D
и осевого меридиана зоны, в которой расположен треугольник. Длина исходной
стороны DQ равна S; DH — меридиан точки D; угол HDQ=A представляет собой
Рис.4.5
геодезический азимут исходной стороны DQ.
На плоскости в проекции Гаусса-Крюгера осевой меридиан изобразится пря-
мой линией — осью x. Точка D изобразится точкой D’ с прямоугольными коорди-
натами x и y. Геодезические линии, образующие треугольник, изобразятся в ви-
де кривых D’C’, C’Q’, Q’D’, обращенных выпуклостью от оси абсцисс. Углы между
этими кривыми в силу равноугольности проекции Гаусса будут равны соответст-
вующим углам β1 ,β 2 ,β 3 между линиями на поверхности эллипсоида.
Однако решение криволинейных треугольников на плоскости представляет
большое неудобство. Поэтому их превращают в прямолинейные, соединяя кон-
цы дуг хордами (пунктирные линии на рис.4.5). Для перехода от сферических
углов
β i к углам между хордами β ′ достаточно учесть небольшие поправки δ,
i
называемые поправками за кривизну изображения геодезических линий на
плоскости или редукциями горизонтальных направлений. Так например,
угол между хордами D’C’ и D’Q’ равен
β1 = β1 + δ12 − δ13
(4.18)
( δ13 — имеет знак минус)
Стороны криволинейного треугольника на плоскости
d i ‘ будут больше соот-
d i ‘ > S i . Учет искажений линий осуще-
ствляется введением в длину линии на эллипсоиде специальной поправки ∆S —
редукции расстояний. При этом из-за малости расхождения длину кривой d ‘
не отличают от длины хорды d и полагают, что длина линии на плоскости равна
(4.19)
d = S + ∆S .
ветствующих сторон на эллипсоиде, т.е.
Меридиан DH изобразится на плоскости в виде кривой D’H’. Азимут A геоде-
зической линии DQ будет равен на плоскости углу между изображениями мери-
диана D’H’ и геодезической линии D’Q’, т.е. он тоже изобразится без искажения.
Угол
γ между проекцией меридиана и линией, параллельной оси x, называется
сближением меридианов на плоскости или гауссовым сближением мери-
дианов. Переход от азимута к дирекционному углу исходной стороны осущест-
вляется по формуле
α = A − γ + δ12 .
(4.20)
Плоское сближение меридианов γ вычисляют либо по геодезическим коор-
динатам B и L либо по плоским координатам x и y.
Поправки δ и
∆S вычисляют по приближенным плоским координатам, кото-
рые находят используя неисправленные длины и сферические углы.
4. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера
4.5 Условия конформного изображения поверхности эллипсоида на плоскости
Учитывая, что проекция Гаусса-Крюгера является конформной, определим
условия конформности, т.е. определим вид функции f1 и f2 в уравнениях (4.1).
Пусть точка A (рис.4.6) является изображением на плоскости некоторой точ-
ки, дуга AB — изображение дифференциала дуги меридиана (L=const), а дуга AC
— изображение дуги параллели (B=const).
Угол
γ представляет собой
один и тот же угол поворота кон-
формного изображения как мери-
диана, так и параллели относи-
тельных координатных линий
y. Этот угол является сближени-
ем меридианов на плоскости. Он
отсчитывается от оси x и или y в
направлении против хода часо-
вой стрелки.
Из подобных треугольников
ABC′ и ACC′ можем записать
AB′ AC ′
=
= cos γ ,
AB
AC
 (4.21)
BB ′ CC ′
=
= sin γ . 
AB AC
Рис.4.6
Найдем значения сторон этих треугольников.
В соответствии с определением масштаба проекции запишем
∆YAC N cos BdL 
mx =
где
AB
AB
,
=
∆X AB MdB
(4.22)
∆X AB и ∆YAC — соответственно малые дуги меридиана и параллели.
Принимая во внимание, что масштаб проекции не зависит от направления,
два последние выражения можем переписать в одно:
m=
откуда
AC
AB
=
,
MdB N cos B
(4.23)
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
76
AB = mMdB ,
AC = mN cos BdL .
(4.24)
Из общего уравнения проекции (4.1) напишем полные дифференциалы пло-
ских координат
∂x
∂x
dx =
(4.25)
Для дуги меридиана, когда L=const и вторые члены в уравнениях (4.25) будут
равны 0, получим
∂x
dx AB = AB ′ =
dy AB
(4.26)
Аналогично для изображения дуги параллели, т.е. B=const, первые члены в
уравнениях (4.25) будут равны 0
∂x
(4.27)
Теперь подставим значения сторон, определяемые формулами (4.24), (4.26),
(4.27) в равенства (4.21). Тогда
=
= sin γ .
mMdB mN cos BdL
(4.28)
Из этих соотношений находим прежде всего
.
∂B
N cos B ∂L 
(4.29)
4. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера
77
Дифференциальные уравнения (4.29) являются теми условиями, которым
должны удовлетворять функции (4.1) при конформном изображении эллипсоида
на плоскости.
Для получения формул вычисления сближения меридианов и масштаба пе-
репишем формулы (4.28) следующим образом
∂ cos B ∂L
M ∂B N cos B ∂L
m sin γ = −
Тогда
M  ∂B 
N cos B  ∂L 
(4.31)