Вычисление плоских координат по геодезическим координатам

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
4.6 Вычисление плоских координат по геодезическим координатам
Проекция Гаусса-Крюгера является симметричной относительно оси x. Урав-
нения изображения всех симметричных проекций при малой величине разности
долгот l можно представить в виде следующих рядов [3]
x = X + a2 l 2 + a4 l 4 + a6 l 6 + a8 l 8 + ...
3
5
7
y = b1 l + b3 l + b5 l + b7 l + …
(4.32)
Коэффициенты в этих рядах представляют собой функции только широты B.
Характерным признаком уравнений симметричных проекций является то, что
уравнение абсциссы состоит из членов только четной степени разности долгот,
а уравнение ординаты — из членов только нечетной степени этой разности.
Уравнения (4.32) характерны для целого ряда симметричных проекций. Для
проекции Гаусса-Крюгера они должны удовлетворять условиям конформности
(4.29).
Выразим частные производные рядов (4.32)
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
78
∂x dX da2 2 da4 4 da6 6 da8 8 
l +
l +
l +
l + …
=
+
∂B dB dB
dB
dB
dB
∂x
= 2a2 l + 4a4 l 3 + 6a6 l 5 + 8a8 l 7 + …
∂L
∂y db1
db3 3 db5 5 db7 7
=
l+
l +
l +
l + …
∂B dB
dB
dB
dB
∂y
2
4
6
= b1 + 3b3l + 5b5l + 7b7 l + …
∂L
(4.33)
и подставим их в дифференциальные уравнения (4.29)
(
)
dX da2 2 da4 4
M
+
b1 + 3b3l 2 + 5b5l 4 + 7b7 l 6 + … ,
l +
l + … =
N cos B
dB dB
dB
db1
db
db
M
2a2 l + 4a4 l 3 + 6a6 l 5 + … .
l + 3 l 3 + 5 l 5 + … = −
N cos B
dB
dB
dB
(
)
Сравнивая между собой в этих равенствах коэффициенты при одинаковых
степенях l, находим
вX
M
=
b1 ,
dB N cos B
∂b1
2M
a2 l ,
l=−
N cos B
dB
∂a2 2
2M
l =−
b3l 2 ,
dB
N cos B
∂b1 3
4M
l =−
a4 l 3 ,
dB
N cos B
N cos B dX
,
M dB
− N cos B db1
a2 =
,
M
dB
N cos B da2
b3 =
,
3 M dB
− N cos B db3
a4 =
,
4M
dB
b1 =
и т.д.
Анализируя правый столбец приведенных формул, видно, что для получения
каждого последующего коэффициента необходимо найти производную преды-
дущего коэффициента.
Учитывая, что
dX
= M , первый коэффициент равен
dB
N cos B
b1 =
M = N cos B .
M
Принимая во внимание формулы (1.12) и (1.18) можно записать
4. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера
79
dr d ( N cos B) db1
=
=
= − M sin B .
dB
dB
dB
Тогда
1
a2 = N sin B cos B .
2
Аналогичным образом находят значения остальных коэффициентов.
Приведем окончательные формулы для вычисления коэффициентов в рядах
(4.32)
1
N s in B c o s B ,
2
1
a4 =
N s in B c o s 3 B 5 − tg 2 B + 9 η 2 + 4 η 4 ,
24
1
a6 =
N s in B c o s 5 B 6 1 − 5 8 tg 2 B + tg 4 B + 2 7 0 η 2 − 3 3 0 η 2 tg 2 B
720
1
a8 =
N s in B c o s 7 B 1 3 8 5 − 3 1 1 1 tg 2 B + 5 4 3 tg 4 B − tg 6 B ,
40320
b1 = N c o s B ,
1
b3 =
N c o s 3 B 1 − tg 2 B + η 2 ,
6
1
b5 =
N c o s 5 B 5 − 1 8 tg 2 B + tg 4 B + 1 4 η 2 − 5 8 η 2 tg 2 B ,
120
1
b7 =
N c o s 7 B 6 1 − 4 7 9 tg 2 B + 1 7 9 tg 4 B − tg 6 B .
5040
a2 =
Ряды (4.32) и коэффициенты (4.32) обеспечивают в плоских координатах
точность 0.01м при разности долгот l=9°.
При B=0° все коэффициенты
a2 , a4 , a6 , a8 будут равными нулю, следова-
тельно, x=0. Это означает, что экватор (B=0°) изображается в проекции Гаусса-
Крюгера прямой линией — осью ординат.
Для точек, лежащих на осевом меридиане l=0°, ордината
y=0, а абсцисса
равна длине дуги меридиана x=X. Величина X в рядах (4.32) является длиной
дуги меридиана от экватора до точки, имеющей широту B, и вычисляется по
формуле (1.37).