Вычисление сближения меридианов, Масштаб в проекции Гаусса-Крюгера

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
4.8 Вычисление сближения меридианов
Для вычисления сближения меридианов воспользуемся второй формулой
(4.30), так как частные производные по долготе найти проще, чем по широте
 ∂x 
 ∂L 
Продифференцируем выражения (4.32) по долготе
(4.39)
∂x
= 2a2 l + 4a4 l 3 + 6a6 l 5 + …
= b1 + 3b3l + 5b5l + 7b7l + …
∂L
(4.40)
Подставим в выражения частных производных коэффициенты (4.34) и, огра-
5
ничиваясь членами, содержащими множитель l , получим
= N sin B cos Bl + sin B cos3 B 5 − tg 2 B + 9η2 + 4η4 l 3 + 
+
sin B cos B 61 − 58tg B + tg B l ;
= N cos B + cos3 B 1 − tg 2 B + η2 l 2 +
cos B 5 − 18tg B + tg B l .
я разложение в ряд
1
−1
= (1 + z) = 1 − z + z 2 − z 3 + …
1+ z
5
ограничиваясь учетом членов, содержащих множитель l , получим
1
1  1
2
2
2 2
=
1 + cos B 1 − tg B + η l +
∂y N cos B  2
∂L
+ cos 4 B 5 − 18tg 2 B + tg 4 B l 4  =
1 − cos B 1 − tg B + η l +
N cos B  2
+ cos 4 B 1 + 6tg 2 B + 5tg 4 B l 4 
(4.42)
Используя формулы (4.39), (4.41), (4.42), выполнив умножение и приведение
подобных членов, получим, пренебрегая в последнем слагаемом величинами,
содержащими
η2
4. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера
83
 l2
tgγ = l sin B1 + cos 2 B 1 + tg 2 B + 3η2 + 2η4 +
+ cos 4 B 2 + 4tg 2 B + 2tg 4 B 
Знак
сближения
меридианов
совпадает
)
со
знаком
разности
(4.43)
долгот
l = L − L0 . Очевидно, что для точек, расположенных к востоку от осевого мери-
диана, сближение меридианов всегда будет иметь знак плюс, а к западу — минус.
Если заданы плоские координаты, то наиболее рациональной будет сле-
дующая последовательность вычислений: вначале определяются геодезиче-
ские координаты B и l, а затем применяется уравнение (4.43).
Для приближенного определения сближения (с точностью до одной минуты)
достаточно ограничиться первым слагаемым в выражении (4.43). Тогда
γ ′ = l ′ sin B
(4.44)
Если же заданы плоские координаты, то предварительно находят широту B с
точностью до 1′ (по крупномасштабной карте), а затем применяют формулу
ρ
γ ′ = y tgB = 0.539 y( км )tgB ,
a
(4.45)
где а — большая полуось эллипсоида;
y — абцисса относительно осевого меридиана зоны.
4.9 Масштаб в проекции Гаусса-Крюгера
Масштаб изображения является важнейшей характеристикой любой кон-
формной проекции. Зная формулу масштаба, можно установить величины и
распределение линейных искажений в пределах изображаемой области.
Для вывода формулы масштаба воспользуемся второй формулой из (4.31),
которую запишем в следующем виде:
 ∂x  2  ∂y  2
4
В производных (4.41) сохраним только члены порядка l ,тогда
2
(4.46)
l3
= l sin B + sin B cos 2 B 5 − tg 2 B + 9η2 + 4η4 ,
∂L N cos B
= 1 + cos B 1 − tg B + η + cos 4 B 5 − 18tg 2 B + tg 4 B .
∂L N cos B
2
Возведем каждое из этих выражений в квадрат и сложим их. Тогда получим с
принятой выше точностью
l4
m = l sin B + sin 2 B cos 2 B 5 − tg 2 B +
+ 1 + cos B 1 − tg B + η + cos 4 B 1 − 2tg 2 B + tg 4 B +
l4
+ cos 4 B 5 − 18tg 2 B + tg 4 B .
Заменив sin B на cos Btg B и приведя подобные члены, будем иметь
m = 1 + cos B 1 + η l + cos B 8 − 4tg B
(4.47)
Для извлечения квадратного корня применим выражение
1+ x = 1+ x
x2 x4
= 1+ − .
2
8
Таким образом, окончательно получаем
l2
l4
4
2
m = 1 + cos B 1 + η
+ cos B 5 − 4tg B
Из данного выражения видно, что при l=0°, т.е. на оси абсцисс, масштаб
равен единице во всех точках. По мере удаления от осевого меридиана к вос-
току и западу масштаб изображения быстро увеличивается.
Ранее была получена формула масштаба изображения в проекции Гаусса-
Крюгера для шара (4.11). Более точное значение масштаба изображения в
функции плоских координат дает для сфероида следующая формула, которую
приведем без вывода
y2
y4
y6
m = 1+ 2 +
+
+ …
4
6
2R
24 R
720 R
(4.48)