Перевычисление плоских прямоугольных координат из одной системы в другую

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
4.13 Перевычисление плоских прямоугольных координат из одной системы в другую
В геодезической практике задача перевычисления координат пунктов из од-
ной системы в другую возникает, большей частью, при привязке самостоятель-
ных (местных) сетей к государственной геодезической сети или после новых ра-
бот по развитию сетей высших классов, приведших к изменению исходных дан-
ных в районе работ. Другими словами, задача перевычисления координат из
одной системы в другую имеет место в следующих основных случаях:
1) сеть развивалась как самостоятельная в условной системе координат и
необходимо получить координаты пунктов сети в общегосударственной системе;
2) сеть развивалась на основе определенного количества пунктов государст-
венной сети более высокого класса. После работ по реконструкции сети исход-
ные пункты получили новые координаты. Необходимо определить новые коор-
динаты созданной сети с учетом изменения координат исходных пунктов.
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
94
Переход к новой системе координат во всех случаях может быть выполнен
путем переуравнивания сети с учетом новых исходных данных. Однако этот
путь требует наличия данных непосредственных измерений, которые не всегда
имеются.
Для перевычисления плоских прямоугольных координат из одной системы в
другую необходимо иметь ряд пунктов, координаты которых известны в обеих
системах. Такие пункты называются общими или исходными. Таких пунктов
должно быть не менее двух. При наличии двух общих пунктов задача решается
без контроля. Если общих пунктов более трех для решения используется прин-
цип наименьших квадратов.
Перевычисление координат при наличии двух общих пунктов.
Пусть даны координаты n пунктов в старой системе координат:
x1 , y1, x2 , y2, …… xi , yi , ….. xn , yn
и двух пунктов 1 и 2 в новой системе
x1 , y1, x2 , y2 .
′ ′ ′ ′
Требуется вычислить координаты остальных (n-2) пунктов (3,4,5,…,n) в но-
вой системе.
По координатам пунктов 1 и 2 в старой и новой системах дважды решают
обратную геодезическую задачу и вычисляют длины и дирекционные углы этой
стороны.
Старая система
Новая система
y2 − y1
x2 − x1
y −y
x −x
= 2 1 = 2 1
sin α1− 2 cos α1− 2
tgα1− 2 =
S1− 2
y2 − y1
x2 − x1
y ′ − y1
x′ − x′
= 2 1
= 2
sin α1− 2 cos α1− 2
tgα1− 2 =
S1− 2
По этим данным вычисляют угол поворота координатных осей
δα = α ′ − α
(4.66)
и масштабный множитель
m = 1 + δm ,
δm =
S′ − S
.
S
(4.67)
Для перевычисления координат используют известные формулы аналитиче-
ской геометрии
xi′ = x1 + ( xi − x1 ) m cos δα − ( yi − y1 ) m sin δα 
yi′ = y1 + ( xi − x1 ) m sin δα − ( yi − y1 ) m cos δα 
(4.68)
4. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера
95
Эти формулы позволяют вычислить в новой системе координаты любого
пункта, используя пункт 1 в качестве исходного. Однако практически удобнее
производить перевычисление, переходя в любой последовательности от пункта
к пункту. Этому соответствуют формулы:
xi′ = xi′−1 + ( xi − xi −1 ) m cos δα − ( yi − yi −1 ) m sin δα 
yi′ = yi′−1 + ( xi − xi −1 ) m sin δα − ( yi − yi −1 ) m cos δα 
(4.69)
Выбор последовательности перехода от пункта к пункту не имеет принципи-
ального значения, но с целью увеличения точности необходимо стремиться,
чтобы расстояние между пунктами было по возможности минимальным. Для
контроля правильности перевычисления координат целесообразно заканчивать
вычисления на втором исходном пункте.
Дирекционный угол и длину любой стороны сети в новой системе координат
можно вычислить по формулам:
α ′ = α + δα ,
S ′ = S + Sδm .
Кроме того, они могут быть найдены из решения обратных геодезических за-
дач, что также является контролем вычислений.
При наличии только двух общих пунктов подобие сети при перевычислении
сохраняется и лишь изменяется ее масштаб, если m ≠ 1.
Перевычисление координат при наличии более двух
исходных пунктов
δα и масштабный множитель m можно вычис-
лить по любой паре общих пунктов. Естественно, что величины δα и m, вычис-
В этом случае угол поворота
ленные по разным парам общих пунктов, вследствие ошибок измерений в сетях
будут иметь разные значения. Поэтому необходимо находить наиболее надеж-
ные значения δα и m.
Пусть имеется геодезическая сеть из
старой системе координат:
xi ,yi
n пунктов, заданных координатами в
( i = 1, 2,…, r, r +1,…, n) .
Кроме того, r пунктов (r<n) имеют координаты в новой системе:
xi′,yi′
(i = 1, 2,…, r ) .
Обычно преобразование координат сводится к переносу начала координат
старой системы на
на величину m≠1.
ξ и η, повороту ее на угол δα и изменению масштаба сети
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
96
Если эти параметры перевычисления известны, то новые координаты можно
вычислить по формулам:
xi′′= {( xi − x0 − ξ) cos δα + ( yi − y0 − η) sin δα} m;
yi′′= {( yi − y0 − ξ) cos δα + ( xi − x0 − ξ) sin δα} m,
где
(4.70)
x0 , y0 — координаты центра тяжести общих пунктов в старой системе ко-
ординат.
1 r
y0 = ∑ yi .
r i =1
1 r
x0 = ∑ xi ;
r i =1
(4.71)
ξ , η,δα и m можно
добиться значительного уменьшения расхождений координат xi′ и xi , а также
′′
yi′ и yi′′ . Однако полностью эти расхождения устранить невозможно.
Очевидно, что путем тщательного подбора параметров
Остаточные расхождения можно выразить формулами:
∆ yi = ( yi′ − y0 ) − yi′′ ,
∆ xi = ( xi′ − x0 ) − xi′′ ,
( i = 1,2,
(4.72)
…. r ) .
Искомые параметры могут быть найдены по следующим формулам, кото-
рые получены при условии
[∆
2
xi
]
+ ∆2yi = min :
r
r
∑ l xi
∑ l yi 
ξ = − i =1 ,
η = − i =1 , 
r
r
r
1
l xi sin α i − l yi cos α i S i ,
δα = r
2 i =1
∑ Si
i =1
1 r
δm = r
∑ l xi cos α i − l yi sin α i S i ,
S i2 i =1
i =1
( ( 
где
)
)
(4.73)
4. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера
lxi = xi′ − x i ,
Si =
97
l yi = yi′ − y i ,
(x i −x 0 )2 + ( y i − y 0 )2 ,
cos α i =
xi −x0
,
Si
sin α i =
С помощью найденных параметров
yi− y0
.
Si
ξ , η,δα и δm можно вычислить новые
координаты пунктов по формулам
xi′′= {( xi − x0 − ξ) + ( yi − y0 − η)δα} (1 + δm);
yi′′= {( yi − y0 − ξ) + ( xi − x0 − ξ)δα} (1 + δm).
(4.74)
Эти формулы получены из основных формул (4.70) с учетом того, что
m = 1 + δm , cos δα ≈ 1, sin δα ≈ δα вследствие малости δm и δα.
Средняя квадратическая ошибка перевычисления для общих пунктов будет
равна
μ=
Значения
[∆
2
x
+ ∆2y
]
(4.75)
2r − 4
∆ x и ∆ y вычисляются по формулам (4.72).
Средние квадратические ошибки параметров перевычисления будут равны:
mξ = mη =
mδα = mδm =
μ
,
r
μ
(4.76)
[S ]
2
.
(4.77)
Существуют и другие способы перевычисления координат, с которыми мож-
но ознакомится в учебной и справочной литературе.
Список литературы
1. Закатов П.С. Курс высшей геодезии, М., Недра, 1976, 511 с.
2. Зданович В.Г. и др. Высшая геодезия, М., Недра, 1970, 512 с.
3. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, М., Недра, 1979, 296 с .
4. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии. М., Недра, 1984, 360 с.
5. Яковлев Н.В. и др. Практикум по высшей геодезии (вычислительные работы), М.,
Недра, 1982, 368 с.