Измерение углов в триангуляции, измерение направлений по способу круговых приемов, измерение углов во всех комбинациях

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ В ТРИАНГУЛЯЦИИ.
В настоящее время для измерения горизонтальных углов в триангуляции
применяют 2 основных способа:
1) Способ круговых приемов (способ Струве) – в триангуляции 2, 3, 4 клас-
сов;
2) способ измерения углов во всех комбинациях (способ Шрейбера) – в
триангуляции 1 и 2 классов.
ИЗМЕРЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЙ ПО СПОСОБУ КРУГОВЫХ ПРИЕМОВ
(СПОСОБ СТРУВЕ).
Способ предложен В. Я. Струве в первой половине XIX века. Его приме-
няют при наличии более 2-х направлений.
В этом способе измеряются направления – углы,
образованные какой-то одной стороной со всеми
остальными сторонами на данном пункте. Сторо-
на, то которой измеряются углы, называется на-
чальным направлением.
При закрепленном лимбе наводят трубу по-
очередно на все направления, начиная и завершая
первым. В 1-м полуприеме алидаду вращают по
ходу часовой стрелки, а во 2-м после перевода
трубы через зенит против хода.
Второе наведение на начальное направле-
ние в пределах полуприема называется замыка-
нием горизонта. Величина незамыкания устанав-
ливается инструкцией в зависимости от типа инструмента (ОТ-02М-6′′, Т1-5′′,
Т2,ТБ1-8′′, Т5-20′′).
Если замыкание горизонта не вкладывается в допуски, то прием не про-
должают (не заканчивают), а начинают сначала.
Хорошим контролем выполнения измерений служит колебание удвоенной
коллимационной ошибки. Эта величина (2с) не должна превышать для теодоли-
тов ОТ-02М-8′′, а для теодолитов Т2-12′′.
Незамыкание горизонта распределяют по формуле:
− ∆ ср
( k − 1)
σk =
n
∆ср – среднее значение незамыкания при двух положениях вертикального
круга;
n – число направлений на пункте;
k – номер по порядку наблюдаемого направления.
Количество приемов, выполняемых на пункте, устанавливается инструк-
цией и зависит от класса триангуляции и типа инструмента:
Класс/разряд
ОТ-02М
Т2
Т5
Т-1
ТБ-1
2 класс
12
3
9
12
4
6
6
1 разряд
2
3
4
2 разряд
2
2
Измерения в разных приемах должны производиться на разных частях
лимба. Для этого начальный отсчет изменяется на величину:
σ=
180
+i
m
m – число приемов измерений;
i – цена наименьшего деления лимба.
После наблюдения m приемами составляется сводка измеренных направ-
лений и контролируется сходимость результатов измерений между приемами.
Допустимые колебания направлений в отдельных приемах, приведенных к
общему нулю, устанавливается инструкцией (ОТ-02М и др. 6′′, Т2, ТБ1 и др. 8′′,
Т05, Т1-5′′).
Если значения направлений расходятся в разных приемах больше указан-
ных допусков, то перенаблюдают приемы с минимальным и максимальным зна-
ченнями.
Повторные измерения производят после окончания измерений на пункте,
на тех же установках лимба, что и в основной программе.
Если на пункте подлежит переделке более 30% приемо-направлений, то
наблюдения на пункте повторяют полностью. Незаконченные приемы в подсчете
переделок не учитывают.
Обработка результатов измерений включает
вычисление средних значений;
оценка точности.
Средняя квадратическая ошибка направления из одного приема опреде-
ляется по формуле:
μH =
1
2
∑[v ]
n
(n − 1) ⋅ (m − 1)
∑ v2 −
[ v ] – сумма отклонений от среднего значения в приеме.
Может быть использована упрощенная формула Петерса:
μH =
1.25
m(m − 1)
∑v
n
=k
∑v
n
v – отклонение от среднего значения;
m – число приемов;
n – число направлений.
Величина k в зависимости от числа приемов задана в таблице
m
6
9
12
15
k
0,23
0,15
0,11
0,08
Средняя квадратическая ошибка уравненного (среднего) значения:
μ
M =
m
При отсутствии видимости на некоторые направления, а также при боль-
шом количестве направлений измерения производятся в 2-х группах, при этом
не менее 2-х направлений должны быть общими.
Обработка производится после измерений в каждой группе (получение
средних).
Пример:
Noт I группа
II группа
I-II группы
Ориент. 2-й Окончательное
п/п
группы
направление
1
0°00′00′′
0°00′00′′
2
36°12′40′′
36°12′40′′
3
0°00′00′′
70°10′37′′
70°10′37′′
4 110°22′45′′
70°10′34′′
40°12′11′′
110°22′48′′
110°22′48′′
5
64°18′10′′
134°28′47′′
134°28′47′′
6 160°19′55′′
70°10′40′′
90°09′15′′
160°19′52′′
160°19′52′′
7 195°16′30′′
195°16′30′′
8
216°21′12′′
286°31′49′′
286°31′49′′
Ср. 70°10′37′′
Недостатки способа:
• необходимость наличия видимости одновременно по всем направ-
лениям;
• значительная длительность 1-го приема измерений (10-20 минут);
• неравноточность начального направления, на которое производится
в 2 раза больше наведений.
Достоинства способа:
• простота программы наблюдений и уравнивания на станции;
• наличие контроля за устойчивостью подставки и лимба в виде замы-
кания горизонта;
• использование значительного числа делений лимба;
• экономичность способа, т.е. измерение направлений, требует при-
мерно в 2 раза меньше наведений, чем измерение углов.
ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ ВО ВСЕХ КОМБИНАЦИЯХ.
Способ применяется в триангуляции 1 и 2 классов. Способ угловых на-
блюдений на пункте путем измерения углов, образованных всеми комбинациями
пар направлений, предложил К. Гаусс. Некоторое развитие этого способа при-
надлежит немецкому геодезисту Шрейберу.
Рассмотрим методику измерений при данном способе. При 4-х направле-
ниях (рис.) измеряют шесть углов — β1,2, β1,3, β1,4, β2,3, β2,4, β3,4.
При n направлениях число измеряемых углов равно:
n(n − 1)
.
2
Измерение отдельного угла производится по способу аналогичному спо-
собу круговых приемов, но без повторного визирования на начальное направле-
ние в конце полуприемов.
I полуприем:
1) наводят трубу на левый предмет и берут отсчет по лимбу;
2) поворачивают алидаду по ходу часовой стрелки на величину измеряе-
мого угла;
3) наводят трубу на правый предмет и берут отсчет по лимбу.
II полуприем (после переведения трубы через зенит):
1) наводят трубу на правый предмет и берут отсчет по лимбу теодолита;
2) поворачивают алидаду по ходу часовой стрелки на величину дополне-
ния измеряемого угла до 3600;
3) наводят трубу на левый предмет и берут отсчет по лимбу.
Перестановки лимба между приемами производится так, чтобы отсчеты
брались по различным частям лимба и по возможности равномерно распреде-
лялись по его окружности.
В связи с тем, что при измерении углов во всех комбинациях имеются из-
быточно измеренные углы, то на каждом пункте выполняется уравнивание.
Для получения ряда направлений необходимо иметь углы, отсчитанные от
направления, условно считаемого начальным, до остальных. Эти углы обозна-
чим Nj-1 (j=2,…,n). Примем их в качестве необходимых неизвестных, т.к. уравни-
вание целесообразно выполнять параметрическим способом.
Средние значения углов, полученных из m приемов, обозначим через βj-i,
где j>i.
В этом случае уравнения поправок запишутся так:
Vj-I=Nj-1-Ni-1-βj-1.
Запишем параметрические уравнения поправок для рассматриваемого
примера:
− β 2−1
V2−1 = + N 2−1
+ N 3−1
− β 3−1
V3−1 =
+ N 4−1 − β 4−1
V4−1 =
− β 3− 2
V3− 2 = − N 2−1 + N 3−1
+ N 4−1 − β 4− 2
V4− 2 = − N 2−1
− N 3−1 + N 4−1 − β 4−3
V4 −3 =
Нормальные уравнения будут иметь вид:
3N 2−1 − N 3−1 − N 4−1 + (− β 1− 2 + β 3−2 + β 4− 2 ) = 0
− N 2−1 + 3N 3−1 − N 4−1 + (− β 3−1 − β 3− 2 + β 4−3 ) = 0
− N 2−1 − N 3−1 − 3 N 4−1 + (− β 4−1 + β 4− 2 + β 4−3 ) = 0
Найдем сумму уравнений:
N 2−1 + N 3−1 + N 4−1 − β 2−1 − β 3−1 − β 4−1 = 0
Складывая ее с каждым уравнением системы нормальных уравнений, по-
лучим 3 независимых уравнения:
4 N 2−1 − 2 β 2−1 − ( β 3−1 − β 3− 2 ) − ( β 4−1 − β 4− 2 ) = 0
4 N 3−1 − 2 β 3−1 − ( β 2−1 − β 3− 2 ) − ( β 4−1 − β 4−3 ) = 0
4 N 4−1 − 2 β 4−1 − ( β 2−1 − β 4− 2 ) − ( β 3−1 − β 4−3 ) = 0
Из этой системы следует, что Nj-1 статистически независимы.
Отсюда найдем:
1
{2 β 2−1 + ( β 3−1 − β 3−2 ) + ( β 4−1 − β 4−2 )}
4
1
= {2 β 3−1 + ( β 2−1 − β 3− 2 ) + ( β 4−1 − β 4−3 )}
4
1
= {2 β 4−1 + ( β 2−1 − β 4−2 ) + ( β 3−1 − β 3)}
4
N 2−1 =
N 3−1
N 4−1
Общую формулу для случая n направлений можно записать в следующей
формуле:
n−2
N j −1 =
2 β j −1 + ∑ β (j i−)1
i =1
n
где β(i)j-1 (i=1,…,n-2) – все возможные значения угла βj-1, вычисленные как
суммы или разности результатов измерения других углов. Число таких значений
всегда равно n-2.
Другими словами уравненный угол находится как весовое среднее из
возможных его значений. В рассматриваемом примере таких значений будет
3: одно – непосредственно измеренное и два как сумма или разность двух дру-
гих углов. Непосредственно измеренные углы входят в формулу с коэффициен-
том 2, т.к. вес их в 2 раза больше вычисленных углов.
Уравненные углы N2-1, N3-1,…, Nn-1 можно рассматривать как один ряд не-
посредственно измеренных направлений, т.к. способ Шрейберга, в конечном
счете, приводит к тем же результатам, что и способ круговых приемов. На
основании этого задача уравнивания измерений на станции отделяется от
общего уравнивания сети без нарушения его строгости, что существенно
упрощает вычисления по обработке триангуляции.
Для вычисления необходимого числа приемов m для измерения отдель-
ных углов, установим зависимость между весами уравненных и измеренных уг-
лов. Полагая, что уравнивание выполняется по способу наименьших квадратов,
запишем выражение для средней квадратической ошибки уравненного угла:
М = М1
число необходимых измерений
число всех измерений
М1 – с.к.о. угла, измеренного m приемами.
Число необходимых измерений n-1, общее число измерений
М = М1
n(n − 1)
, тогда
2
2
n
Обозначим через μ среднюю квадратическую ошибку измерения угла од-
ним приемом, получим, что:
μ
М1 =
M =μ
m
2
mn
Отсюда зная, что выражение под корнем есть
1
, получим значение веса
P
уравненного угла Р=mn.
Из этого следует, что при заданном числе приемов для измерения отдель-
ных углов вес уравненных углов будет тем больше, чем больше число направ-
лений на пункте.
Однако измерения в триангуляции необходимо выполнять таким образом,
чтобы веса уравненных углов были бы одинаковыми для каждого пункта. В этом
и состоит первое условие Шрейберга, а именно: число приемов на станции на-
значается в соответствии с равенством
m ⋅ n = p = const
Величина Р, называемая весом измерений, регламентирована «Инструк-
цией». Приведенная формула позволяет по известным значениям Р и n опреде-
лить число приемов m для измерения углов на данном пункте.
Так, например, инструкцией установлено во 2 классе триангуляции
P=mn=21-25, в 1 классе — P=35-36, которые эквивалентны наблюдению 12 круго-
выми приемами в первом случае и 18 во втором.
Второе условие Шрейберга состоит в том, что каждое направление на
станции должно наблюдаться при одном и том же положении лимба только один
раз. Оно позволяет получить независимые друг от друга измерения каждого угла
и свести к минимуму влияние ошибок диаметров лимбов. Для этого при перехо-
де от приема к приему лимб переставляют на величину:
σ=
180
+ i (i – цена деления лимба),
m
а между группами не примыкающих к друг другу углов на величину:
σ
— при четном n.
n −1
σ
δ = — при нечетном n.
n
δ=
В инструкции приведены таблицы установок лимба.
Для оценки точности измерений вычисляют уравненные значения всех уг-
лов. По каждому измерявшемуся углу образуют разности V – между непосредст-
венно измеренным его значением и вычисленным по уравненным направлени-
ям, а затем [VV]. Среднюю квадратическую ошибку угла, полученного из m
приемов, определяют по формуле:
М1 =
[VV ]
r
r – число избыточно измеренных углов.
r=
n(n − 1)
1
− (n − 1) = (n − 1)(n − 2)
2
2
откуда
M1 =
2[VV ]
(n − 1)(n − 2)
а ошибка угла μ, полученная из одного приема, будет:
μ = M1 m =
2m[VV ]
(n − 1)(n − 2)
Среднюю квадратическую ошибку уравненного угла вычисляют по форму-
ле:
2
=
n
M = M1
4[VV ]
n(n − 1)(n − 2)
а уравненного направления:
MH =
M
2
=
2[VV ]
n(n − 1)(n − 2)
Достоинства способа Шрейберга:
1. Обеспечивает равенство весов направлений на всех пунктах сети.
2. Гибкость в использовании наилучшей видимости, состоящая в возмож-
ности проведения наблюдений в любом порядке, позволяющим измерять на-
правления, видимые лучше других.
3. Малая продолжительность одного приема (3-5 минут) способствует по-
вышению точности, поскольку достигается лучшая устойчивость инструмента и
более полное исключение ошибок, действие которых нарастает с течением вре-
мени.
4. Значительно ослабляются ошибки делений лимба вследствие исполь-
зования большого числа его диаметров.
Недостатки способа:
1. Быстрое возрастание объема измерений по мере увеличения числа на-
правлений на пункте.
2. С увеличением числа направлений уменьшается количество приемов
непосредственного измерения углов.
Поэтому при числе направлений больше 7 предпочитают применять дру-
гие способы, в частности, способы советских геодезистов А. М. Томинина и
Аладжалова.
Способ А. М. Томинина.
В данном способе измеряют углы между каждой парой смежных направ-
лений и углы, являющиеся суммой смежных углов, так что всего на пункте при n
направлениях измеряется 2n углов.
Измерение отдельного угла здесь производится несколько большим чис-
лом приемов, чем в способе Шрейберга.
Общее же число измеренных углов уменьшается, так что в конечном итоге
измерения менее трудоемки.
Способ неполных приемов (способ Аладжалова).
Все направления разделяют на группы по 3 направления в каждой. Группы
подбирают так, чтобы по результатам измерений можно было вычислить все уг-
лы, образующихся при парном сочетании направлений из n по 2. Каждая группа
наблюдается самостоятельно способом направления (без замыкания горизон-
та).
 
 
 
    Скачать с Depositfiles