Сделать домашней|Добавить в избранное
 
 
» » » Условные уравнения, возникающие в свободных сетях триангуляции

Условные уравнения, возникающие в свободных сетях триангуляции

Автор: admin от 9-09-2015, 22:36
    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
УСЛОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В СВОБОДНЫХ СЕТЯХ ТРИАНГУЛЯЦИИ.

В свободных сетях при уравнивании по углам возникают следующие
условия:
1) условия фигур;
2) условия горизонта;
3) условия полюсов.
Условия фигур.
В замкнутой фигуре, в которой измерены все внутренние углы при
всех вершинах, сумма уравненных значений этих углов должна быть рав-
на теоретической.
Для треугольника ABC это ус-
ловие запишется следующим обра-
зом
1 + 2 + 3 − 180 o = 0 .
Заменяя уравненные углы че-
рез измеренные и поправки к ним,
получим:
1′ + (1) + 2′ + (2 ) + 3′ + (3) − 180 o = 0
,
(1) + (2) + (3) + [1′ + 2′ + 3′ − 180 o ] = 0
.
Окончательный вид условия фигур
(1) + (2) + (3) + ω = 0 ,
где ω = 1′ + 2′ + 3′ − 180 o .
Условие горизонта.
Если на пункте измерены углы с замыканием горизонта, то это
приводит к условию, чтобы сумма уравненных углов была равна 360°.
Для случая, показанного на рисунке
можно записать
1 + 2 + 3 + 4 + 5 − 360 o = 0 .
Условие в окончательном виде запи-
шется так
(1) + (2) + (3) + (4) + (5) + ω = 0 ,
где ω = 1′ + 2′ + 3′ + 4′ + 5′ − 180 o .
Условия горизонта обычно учитывает-
ся только для пунктов, расположенных внут-
ри контура сети, например, только для пункта К.
Условия горизонта не возникают, если уравнивание выполняется по
направлениям, т.к. в этом случае свободные члены всегда будут равны ну-
лю.
Условие полюса (боковое условие).
Полюсное условие заключается в требовании, чтобы длина неко-
торой стороны, вычисленная двумя независимыми путями из решения
треугольников сети, имела одно
и тоже значение.
Эти условия возникают в
геодезических четырехугольниках,
центральных системах и во всех
случаях, когда в сети есть диаго-
нальные направления. В этих слу-
чаях одна из сторон сети является
избыточной.
Рассмотрим принцип со-
ставления полюсных уравнений на
примере геодезического четырех
угольника.
В геодезическом четырех угольнике некоторую сторону, например АС,
можно вторично вычислить из последовательного решения треугольников
АВС, ABD, ACD.
Из ∆ ABC
Из ∆ ABD
Из ∆ ACD
sin 3
.
sin 8
sin (7 + 8)
sin 3 sin (7 + 8)
AD = AB
.
= AC
sin 6
sin 8 sin 6
sin 5
sin 3 sin (7 + 8) sin 5
.
AC = AD
= AC
sin (3 + 4 )
sin 8 sin 6 sin (3 + 4 )
AB = AC
Однако по измеренным углам получим другое значение данной сто-
роны. Чтобы ликвидировать это расхождение измеренным углам надо при-
дать соответствующие поправки.
Тогда получим функцию
F = AC
sin{3′ + (3)} sin{7′ + (7 ) + 8′ + (8)}
sin{5′ + (5)}
= AC
sin{8′ + (8)}
sin{6′ + (6 )}
sin{3′ + (3) + 4′ + (4 )}
(2)
Разделив на АС, получим выражение полюсного уравнения в виде от-
ношения синусов углов
sin{3′ + (3)} sin{7′ + (7 ) + 8′ + (8)}
sin{5′ + (5)}
=1
sin{8′ + (8)}
sin{6′ + (6 )}
sin{3′ + (3) + 4′ + (4 )}
Заменяя отношения синусов отношением противолежащих сторон
полюсное условие можно записать в виде тождества
AC AB AD
= 1.
AB AD AC
На практике удобнее составлять полюсное уравнение по отношению
сторон, исходящей из одной точки (полюса). Затем заменяют отношение
сторон отношением синусов противолежащих в данном треугольнике углов.
Это позволяет контролировать составление условия тем, что после сокра-
щения одинаковых сторон в левой части уравнения также должна быть
единица.
Для составления условных уравнений полюсов можно применять про-
стое мнемоническое правило.
Выбрав точку полюса, пишут произведение всех сторон схо-
дящихся в полюсе. Например для точки А
AB AD AC
Разделив полученное произведение само на себя, переставив
в знаменателе на последнее место сторону, стоящую на первом
месте в числители, получим тождество
AB AD AC
=1
AD AC AB
Далее заменяя отношения сторон в каждом треугольнике
отношением синусов противолежащих им углов, получим условное
уравнение полюса.
Важным является то, что в полюсное уравнение не входят углы,
прилегающие к полюсу. Так, в уравнение (2) не входят углы 1 и 2, которые
прилегают к точке А, которая принята за полюс. Это свойство позволяет оп-
ределять ошибочные направления в сети триангуляции.
В геодезическом четырехугольнике за полюс может быть принята лю-
бая из вершин и даже фиктивная точка пресечения диагоналей. Однако
предпочтительней принимать либо вершину с наиболее тупым углом, либо
фиктивную точку пересечения диагоналей. В первом случае коэффициенты
полюсного уравнения будут иметь наибольшие по величине значения, бла-
годаря чему неизвестные поправки определяются с большей точностью,
чем при выборе полюса в другой точке. При выборе полюса в точке пересе-
чения диагоналей при составлении полюсного уравнения используются все
углы четырехугольника. Например:
sin 1 sin 7 sin 5 sin 3
= 1.
sin 8 sin 6 sin 4 sin 1
Полюсные уравнения возникают в геодезическом четырехугольнике и
в том случае, когда в некоторых вершинах измерены не все углы или на-
правления, т.е. когда в сети имеется не сплошное направление.
В этом случае возможны 2 пути составления полюсного уравнения.
1) За полюс принимается вершина, к которой примыкает несплошное
направление, т.е. точка С. Тогда
CD CA CB
=1 и
CA CB CD
sin 1 sin (3 + 6 ) sin 7
=1
sin (4 + 7 ) sin 2 sin 6
2) Каждый из неизмеренных углов заменяется дополнением до 180°
суммы других углов, измеренных в данном незамкнутом треугольнике. На-
пример, неизмеренный угол x в ∆ABC при составлении полюсного уравне-
ния можно выразить следующим образом
x = 180 o − (2 + 3 + 6 )
x1 = 180 o − (1 + 4 + 7 )
Тогда. sin x = sin (2 + 3 + 6 ) и sin x1 = sin (1 + 4 + 7 )
Если полюс расположить в точке А, то можно записать
AB AC AD
= 1;
AC AD AB
sin x sin (4 + 7 ) sin 3
= 1;
sin (3 + 6 ) sin x1 sin 4
sin (2 + 3 + 6 ) sin (4 + 7 ) sin 3
= 1.
sin (3 + 6 ) sin (1 + 4 + 7 ) sin 4
Для приведения полюсного уравнения к линейному виду запишем ис-
ходное уравнение (2) в общем виде
F = AC
sin 3 sin (7 + 8) sin 5
− AC = 0
sin 8 sin 6 sin (3 + 4 )
В соответствии с общим подходом, который выражается уравнением
(1), возьмем частную производную по одному из углов, например по углу 5
sin 3 sin (7 + 8) cos 5
∂F
.
= AC
sin 8 sin 6 sin (3 + 4)
∂5
Умножим и разделим полученное выражение sin 5 . Тогда получим
∂F
cos 5
= AC
= AC ctg 5 .
∂5
sin 5
Учитывая, что частные производные необходимо брать по измерен-
ным углам, то последнее выражение перепишем следующим образом
∂F
= AC ctg 5′ .
∂5′
Аналогично можно взять частные производные по остальным углам и
записать в общем виде
∂F
= ± AC ctgi ′ .
∂i ′
Знак «+» относится к углам числителя, а знак «-» – к углам знамена-
теля.
Свободный член уравнения в соответствии с общей формулой запи-
шется следующим образом
 sin 3′ sin (7′ + 8′) sin 5′
W = AC
− 1
 sin 8′ sin 6′ sin (3′ + 4′) 
Сокращая на АС, выражая поправки в секундах и приведя подобные
члены, получим
[ctg 3 − ctg (3 + 4)](3) − ctg (3 + 4)(4) + ctg 5(5) − ctg 6(6) + ctg (7 + 8)(7 ) +
+ [ctg (7 + 8) − ctg 8](8) + ω = 0
где
П − П2
 sin 3′ sin (7′ + 8′) sin 5′
− 1 или ω = ρ ′′ 1
П2
 sin 8′ sin 6′ sin (3′ + 4′) 
ω = ρ ′′
П1 , П 2 – произведение синусов измеренных углов числителя и зна-
менателя.
В центральной системе при составлении полюсного уравнения за по-
люс принимается полюс центральной системы – точку О.
Запишем следующее соотношение
сторон
OA OB OC OD OE
=1
OB OC OD OE OA
Заменяя отношения сторон через
синусы противолежащих уравненных уг-
лов, получим
sin 2 sin 4 sin 6 sin 8 sin 10
=1
sin 1 sin 3 sin 5 sin 7 sin 9
Коэффициенты условного уравнения
в линейном виде представляются через
котангенсы измеренных углов.
Для составления полюсного уравнения центральной системы можно
сформулировать следующее мнемоническое правило.
Если стать в центре центральной системы и смотреть
поочередно на все остальные пункты, то синусы левых углов за-
писывают в числитель, а правых – в знаменатель, или наоборот.
При наличии диагонали, соединяющей вершины двух несмежных тре-
угольников, в качестве полюса следует брать пункт, соединенный со всеми
вершинами фигуры, для которой составляется полюсное уравнение.
Для фигуры, изображенной на ри-
сунке, полюс располагаем в точке А. За-
писывая отношение сторон, сходящихся
в полюсе, получим
AB AC AD AE
=1
AC AD AE AB
После замены противолежащих
сторон синусами соответствующих углов
получим
sin 3 sin 5 sin (7 + 8) sin 1
= 1.
sin (1 + 2 ) sin 4 sin 6 sin 8
 
 
 

    Скачать с Depositfiles 
Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

Комментарии:

Оставить комментарий