Сделать домашней|Добавить в избранное
 
 
» » » Условные уравнения, возникающие в несвободных сетях триангуляции

Условные уравнения, возникающие в несвободных сетях триангуляции

Автор: admin от 9-09-2015, 22:37
    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
УСЛОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В НЕСВОБОДНЫХ СЕТЯХ ТРИАНГУЛЯЦИИ.

В несвободных сетях триангуляции, имеющих избыточные исходные
данные: базисные стороны или базисы, дирекционные углы сторон, коорди-
наты пунктов, возникают все условия, характерные для свободных сетей,
плюс уравнения за жесткость. К этим уравнения относятся:
1) базисные условия;
2) условия дирекционных углов;
3) условия координат.
Условия дирекционных углов.
Эти условия возникают, когда в сети имеется две или более стороны с
исходными дирекционными углами (непосредственно измеренными или вы-
численными по координат исходных пунктов). Данное условие состоит в
следующем.
Дирекционный угол, вычисленный от исходного дирекционного угла
по уравненным углам, должен равняться второму дирекционному углу.
Если в сети имеется n жестких дирекционных углов, то число уравне-
ний данного вида должно быть (n-1).
Рассмотрим составление данного уравнения на примере цепочки тре-
угольников, изображенных на рисунке.
В сети имеется два жестких дирекционных угла:
α AC – стороны АС;
α BD – стороны BD.
Обозначим связующие углы в сети обозначим через ai , bi , а проме-
жуточные – через ci .
Для составления условного уравнения дирекционных углов выделя-
ется простая цепочка треугольников. Намечают ходовую линию, проходя-
щую через промежуточные углы (на рисунке показана штриховой линией).
Тогда можно записать
α BD = α AC − c1 + c2 − c3 + c 4 − c5 ± (n − 1)180 o .
Заменяя уравненные углы ci через измеренные углы ci′ и поправки к
ним (ci ) , т.е. учитывая, что
ci = ci′ + (ci )
окончательно получим
− (c1 ) + (c 2 ) − (c3 ) + (c 4 ) − (c5 ) + ω = 0 ,
′ ′
где ω = −c1 + c 2 − c3 + c ′ − c5 ± (n − 1)180 o − (α BD − α AC ) .
4
Выбор ходовой линии не имеет принципиального значения и может
быть различным, но необходимо стремиться, чтобы в данном уравнении
участвовало наименьшее число углов. Поэтому выгоднее проводить линию
вдоль связующих сторон и включать только промежуточные углы.
Иногда выделяют частный случай условия ди-
рекционных углов, которое называют условием суммы
углов. Оно возникает, когда две исходные стороны
примыкают к одному пункту. Это условие выражается
требованием
c1 + c 2 + c3 − (α AC − α AB ) = 0
Тогда
(c1 ) + (c2 ) + (c3 ) + ω = 0 ;
′ ′
ω = c1 + c 2 + c3 − (α AC − α AB )
Условия базисов.
Эти условия возникает, когда в сети имеется две или более стороны,
длины которых не подлежат изменению в процессе уравниванию. Таковыми
могут длины сторон между твердыми пунктами или длины, полученные в
результате базисных измерений. Условие базиса заключается в том, что
в уравненной сети вычисленное значение какой-либо исходной сто-
роны какой-либо исходной стороны, принятой за начальную, должно в
точности равняться ее заданной (измеренной) величине.
Для цепочки треугольников можно записать следующее условие
S AC
sin a1 sin a 2 sin a3 sin a 4 sin a5
= S BD .
sin b1 sin b2 sin b3 sin b4 sin b5
Для приведения этого выражения к линейному виду поступают анало-
гично тому, как было сделано в полюсных уравнениях:
S BD
S′
S′
S′
S′
ctga1 (a1 ) + BD ctga ′ (a 2 ) + BD ctga3 (a3 ) + BD ctga ′ (a 4 ) + BD ctga5 (a5 ) _
2
4
ρ′′
ρ′′
ρ′′
ρ′′
ρ′′
S′
S′
S′
S′
S′
− BD ctgb1 (b1 ) − BD ctgb2 (b2 ) − BD ctgb3 (b3 ) − BD ctgb4 (b4 ) − BD ctgb5 (b5 ) + ω = 0
ρ′′
ρ′′
ρ′′
ρ′′
ρ′′
где
ω = S BD − S BD - свободный член уравнения, выражаемый в линейной мере;
sin a1 sin a ′ sin a3 sin a ′ sin a5
2
4
S BD = S AC
.
sin b1 sin b2 sin b3 sin b4 sin b5
Для удобства вычислений коэффициенты условных уравнений выгод-
но иметь близкими к единице. Для этой цели умножим левую и правую
часть условного уравнения
де
ρ′′
и получим уравнение в окончательном ви-
S BD
ctga1 (a1 ) + ctga 2 (a 2 ) + ctga3 (a3 ) + ctga 4 (a 4 ) + ctga5 (a5 ) _
,
− ctgb1 (b1 ) − ctgb2 (b2 ) − ctgb3 (b3 ) − ctgb4 (b4 ) − ctgb5 (b5 ) + ω′′ = 0
где ω′′ = S BD − S BD
ρ′′
– свободный член уравнения, выражаемый в секун-
S BD
дах.
Условие исходных сторон является частным случаем базисного ус-
ловия и возникает в том случае, когда исходные стороны примыкают к од-
ному пункту (см.рис.). Для данной схемы имеем
S AB
sin a1 sin a 2 sin a3 sin a 4 sin a5
− S AC = 0
sin b1 sin b2 sin b3 sin b4 sin b5
Приведение этого уравнения к линейному виду выполняется также как
и для базисного уравнения.
Условия координат.
Эти условия возникает в сети имеющей изолированные (несвязанные
исходными сторонами) избыточные пункты. Эти условия заключаются в
требовании, чтобы координаты одного из исходных пунктов, вычислен-
ные по координатам другого исходного пункта и уравненным углам сети,
были бы равны заданным значениям координат этого пункта.
Каждая избыточная группа исходных пунктов дает 2 условных урав-
нения координат: уравнение абсцисс и уравнение ординат.
Для составления уравнений, прежде всего, в ряде треугольников на-
мечается ходовая линия, как правило, проходящая по связующим сторонам
или другими словами – через промежуточные углы. Начальный и конечный
пункты должны находиться на концах этой линии. Такой выбор ходовой ли-
нии облегчает вычисления.
Примем, что пункты А и В имеют жесткие координаты: x A , y A , x B , y B .
Обозначим через ∆x1 , ∆y1 , ∆x 2 , ∆y 2 , ∆x3 , ∆y3 , ∆x 4 , ∆y 4 – уравненные значе-
ния приращений координат для сторон А–1, 1-2, 2-3, 3-В ходовой линии. То-
гда требование, отвечающее условиям координат, может быть записано в
виде двух следующих равенств:
4
∑ ∆xi − (x B − x A ) = 0 ;
1
4
∑ ∆yi − ( y B − y A ) = 0 .
1
Значения уравненных приращений координат представим в виде
суммы приращений координат, вычисленных по измеренным углам, и по-
правок к ним:
∆xi = ∆xi′ + (∆xi ) ;
∆y i = ∆y i′ + (∆yi ) ,
где ∆xi′ , ∆yi′ – приращения координат, вычисленные с использовани-
ем измеренных в треугольниках углов ai , bi , c i ;
(∆xi ), (∆yi ) - поправки в приращения координат, получаемые из урав-
нивания сети.
Для получения условия координат в линейном виде поправки в при-
ращения координат необходимо выразить через поправки в измеренные уг-
лы в треугольниках. Выполнив эти преобразования, получим в окончатель-
ном виде:
условное уравнение абсцисс
n −1 n −1
1 1
∑ (xn − xi )км [ctgai′ (ai ) − ctgbi′(bi )] − ∑ ( y n − yi )км (m ci ) + 206,265ω x = 0 ;
условное уравнение ординат
n −1 n −1
1 1
∑ ( y n − yi )км [ctgai′ (ai ) − ctgbi′(bi )] − ∑ (xn − xi )км (m ci ) + 206,265ω x = 0 ,
где ω x = x ′ − x B ;
B
ω y = y′ − y B
B
Свободные члены выражаются в метрах и представляют собой раз-
ность между значением координат конечного пункта ходовой линии, вычис-
ленными по измеренным углам, и заданными значениями координат.
В этих уравнениях ( xn − xi ) и ( yn − yi ) разности координат, выражен-
ные в км, конечного пункта (пункта В) ходовой линии и координат текущих
пунктов ходовой линии, включая и начальный пункт (пункт А) этой линии; a
и b связующие углы, причем угол b лежит против исходной стороны, а угол
a - против определяемой; (c ) - поправка в промежуточные углы, которая
записывается со знаком плюс (+ c ) , если угол c расположен слева от ходо-
вой линии, и со знаком минус (− c ) , если – справа от линии.
 
 
 

    Скачать с Depositfiles 
Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

Комментарии:

Оставить комментарий