Подсчет числа условных уравнений

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
ПОДСЧЕТ ЧИСЛА УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Выбор необходимых условных уравнений является ответственейшей
задачей уравнительных вычислений. При выборе условных уравнений не-
обходимо соблюдать три правила, сформулированных И.Ю.Пранис-
Праневичем:
1) ни одно условное уравнение, присущее данной сети, не должно
быть пропущено;
2) условные уравнения должны быть независимыми в том смысле,
что бы ни одно из них не являлось следствием остальных условий;
3) выбранные уравнения должны быть простейшими из всех возмож-
ных в данной сети уравнений.
Рассмотрим эти требования более подробно.
Если хотя бы одно необходимое условие будет пропущено, то неко-
торые геометрические соотношения сети не будут удовлетворены.
Включение лишнего условия, которое будет зависимым, приведет при
решении нормальных уравнений к неопределенности вида 0:0.
Возникновение зависимых условных уравнений связано с тем, что ка-
ждая избыточно измеренная величина находится в нескольких математиче-
ских соотношениях с другими величинами. При этом для построения сети
достаточно удовлетворить только одно, а все остальные будут следствием.
Рассмотрим центральную систему, в
которой измерено 9 углов. В данной сети
можно составить 5 угловых условий (4 фигур-
ные и 1 горизонта) и 4 полюсных. Но незави-
симыми будут только 4 условия (3 фигурные
и 1 полюсное), остальные – зависимые.
Действительно, всего можно записать
(1) + (2) + (3) + ω1 = 0
(4) + (5) + (6) + ω2 = 0
(7 ) + (8) + (9) + ω3 = 0
(3) + (5) + (8) + ω4 = 0
(1) + (4) + (6) + (7 ) + (9) + (2) + ω5 = 0
ω1 = 1′ + 2′ + 3′ − 180o
ω2 = 4′ + 5′ + 6′ − 180o
ω3 = 7′ + 8′ + 9′ − 180o
ω4 = 3′ + 5′ + 8′ − 360o
ω5 = 1′ + 4′ + 6′ + 7′ + 9′ + 2′ − 180o
Очевидно, что пятое уравнение является следствием первых четырех
(если из суммы первых 3-х уравнений вычесть четвертое, то получится пя-
тое уравнение).
Точно так же из 4-х полюсных уравнений независимым будет только
одно.
В геодезическом четырехугольнике можно составить 5 условий фигур
и 5 полюсных уравнений, из которых независимыми будут 3 угловых и 1 по-
люсное.
В качестве независимых условных уравнений можно выбрать любые
из возникающих в данной сети. При этом руководствоваться тем, что вы-
бранные условия были наиболее простыми и содержали меньшее число ис-
комых поправок. Так, например, в центральных системах условие горизонта
и полюса могут быть заменены уравнениями абсцисс и ординат. Однако
они намного сложнее, поэтому всегда составляют первые.
При подсчете числа условных уравнений независимо от вида сети ее
сначала рассматривают как свободную. Для подсчета числа условных
уравнений в свободной сети можно применять графический и аналитиче-
ский способ.
Графический способ состоит в следующем. Принимают сеть как сво-
бодную, т.е. имеющую два исходных пункта. Составляют схему сети, ис-
пользуя строго необходимые углы для однократного определения положе-
ния всех пунктов, включая и оставшиеся твердые. Эти углы отмечены на
рисунке дугами. Построенная сеть не будет содержать избыточных измере-
ний, а, следовательно, не будет иметь и условных измерений. Углы, неис-
пользованные для построения сети, являются избыточными, и каждому из
них соответствует условное уравнение. Подсчитывая эти избыточные углы,
определяют общее число условных уравнений. Так, для сети, изображенной
на рисунке, общее число углов равно 24, необходимое число углов для од-
нозначного построения сети – 14, а число избыточных и, следовательно,
условных уравнений – 10.
Аналитический способ. Для построения сети необходимо иметь не
менее двух исходных пунктов, либо один пункт, длину линии и дирекцион-
ный угол на второй пункт. Таким образом, два первых пункта (например А и
В, см. рисунок) являются исходными и не требуют проведения измерений.
Для получения координат каждого последующего пункта необходимо
в треугольниках измерять, как было установлено выше, 2 любых угла. Эти
углы будут необходимыми. Таких углов в сети, состоящей из n пунктов, бу-
дет
k = (n − 2 )2 .
Все остальные углы будут избыточными. Если всего измерено N уг-
лов, то избыточных величин будет
S = N − k = N − 2n + 4 .
Так как каждое избыточное уравнение приводит к появлению одного
независимого уравнения, то S определяет общее число условных уравне-
ний, возникающих в свободной сети.
Определим число условных уравнений по видам.
Число полюсных уравнений. Для построения первых пунктов сети (1,
2, 3) необходимо три стороны –
S12 , S 23 , S13 .
Для построения остальных пунктов по две сто-
роны на каждый пункт. Следовательно, для по-
строения сети из n пунктов необходимо иметь
следующее число сторон:
3 + (n − 3)2 = 2n − 3 .
Если число всех сторон сети (сплошных и
несплошных) равно p , то число полюсных ус-
ловий будет равно числу избыточных сторон
c = p − 2n + 3 .
Число условных уравнений горизонта. Условные уравнения горизон-
та возникают только при уравнивании углов. Их число, которое обычно обо-
значают через q , равно числу полюсов центральных систем и подсчитыва-
ется непосредственно по схеме сети.
Число условных уравнений фигур. Условия фигур возникают в замк-
нутых фигурах, образованных сплошными сторонами. При уравнивании уг-
лов число уравнений фигур будет равно числу всех условных уравнений
без полюсных уравнений и уравнений горизонта
f = S − c − q = N − 2n + 4 − p + 2n − 3 − q = N − p − q + 1 .
Число фигурных уравнений может быть определено также по форму-
ле
f = l − n + 1,
где l – число сплошных сторон в сети.
Эта формула получается из следующих рассуждений. Для соедине-
ния n пунктов сети необходимо n − 1 сплошных сторон (см.рисунок). В этом
случае сеть не будет иметь замкнутых фигур. Каждая новая сплошная сто-
рона (они показаны пунктиром), взятая сверх необходимого числа, и соеди-
няющая любые два смежные пункты сети, непременно образует замкнутую
фигуру и, следовательно, создает одно условие фигуры. Таким образом,
l сплошных сторон, то число независимых уравнений фигур
равно f = l − (n − 1) = l − n + 1 .
если имеется
Число уравнений в несвободных сетях. В несвободных сетях допол-
нительно возникают условия за жесткость. Их число зависит от количества
избыточных данных и определяется следующими формулами:
число базисных условий
Sb = Rb − 1;
число условий дирекционных углов
число условий координат S xy
где
(
S α = Rα − 1 ;
)
= 2 Rxy − 1 ,
Rb – число исходных сторон, которые не подлежат изменению в
процессе уравнивания;
R α – число исходных дирекционных углов;
R xy – число изолированных друг от друга групп исходных пунктов.
 
 
    Скачать с Depositfiles