Астрономо-геодезический метод определения уклонений отвеса

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
Астрономо-геодезический метод определения уклонений отвеса
Рассмотрим некоторую точку D (пункт триангуляции) на земной поверхности.
Будем первоначально считать, что она располагается и на поверхности
референц-эллипсоида, т.е. земная поверхность и поверхность референц-эл-
липсоида пересекаются.
12
D вычислены геодезические координаты B,L и
геодезический азимут AM на какой-либо предмет M.
Для пункта триангуляции
На этом же пункте произведены астрономические определения, в резуль-
тате которых получены астрономические координаты
φ,λ и астрономический
азимут aM на тот предмет M.
Построим с центром в точке D сферу KZ1K1 единичного радиуса (рис.2.2).
KK1) продолжим до пе-
ресечения со вспомогательной сферой. Нормаль пересечет сферу в точке Z1,
которая называется геодезическим зенитом в точке D.
Нормаль к эллипсоиду (перпендикуляр к касательной
Изобразим отдельно верхнюю по-
лусферу KZ1K1 (рис.2.3).
Аналогично продолжим направле-
ние отвесной линии до пересечения со
Z. Это будет астроно-
мический зенит точки D.
Из точки D проведем прямую па-
сферой в точке
раллельную оси Мира (оси вращения
Земли), она пересечет сферу в точке
Р.
Точка m является пересечением
визирной оси теодолита со вспомога-
тельной сферой при наведении трубы
на предмет M.
Рисунок 2.2
Точки
Z и Z1 соединим с точками m
и Р дугами большого круга.
Тогда, вводя обозначения, будем иметь:
∪mZ=Z — измеренное зенитное расстояние (астрономическое, так как ось
вращения теодолита с помощью уровня устанавливается по направлению си-
лы тяжести);
∪mZ1=Z1- «геодезическое» зенитное расстояние, т.е. такое зенитное рас-
стояние, которое получилось бы, если бы вертикальная ось теодолита была
бы направлена по нормали к поверхности референц-эллипсоида;
DZ1m — плоскость прямого нормального сечения в точке D, проходящая
через М;
13
Рисунок 2.3
∪Z1P=90°-В — дуга, измеряющая угол между полюсом и зенитом, поэтому
выражение 90°-В соответствует геодезической широте точки D;
∪ZP=90°-φ — дуга связанная с направлением отвесной линии, поэтому
выражение 90°-φ соответствует астрономической широте точки D;
DZ1Р — плоскость геодезического меридиана точки D;
DZР — плоскость астрономического меридиана точки D;
∠Z1РZ=∆l — угол между геодезическими и астрономическими меридиана-
ми точки D; т.к. астрономические и геодезические долготы отсчитываются от
одного начального меридиана, то ∆l=λ-L;
∪ZZ1=u — полное уклонение отвесной линии в точке D (дуга, соответст-
вующая углу между направлением нормали к поверхности эллипсоида и на-
правлением отвесной линии);
∠РZ1Z=Θ — геодезический азимут плоскости в которой находится полное
уклонение отвесной линии;
∠РZT=Θ1 — астрономический азимут той же плоскости.
14
Проведем из
Z дугу ZZ′ перпендикулярно к геодезическому меридиану,
т.е. соответствующую сечению первого вертикала на эллипсоиде. Тогда:
∪Z1Z′=ξ — слагающая (проекция) полного уклонения отвесной линии в
меридиане;
∪ZZ′=η — слагающая (проекция) полного уклонения отвесной линии в
первом вертикале.
Очевидно, что уклонение отвесной линии определяется двумя величина-
ми, в качестве которых могут быть взяты:
1) u и Θ
или
2) ξ и η.
В прямоугольном треугольнике
ZZ′Р возьмем 3 рядом лежащих элемента,
заменим катет дополнением до 90° и по правилу Непера запишем
cos( λ − L) = ctg( 90 − φ ) ctg( B + ξ) или
cos( λ − L) = tgφctg( B + ξ) .
Так как
λ − L мало (несколько секунд), то принимаем, что cos( λ − L) = 1.
Тогда
tgφctg( B + ξ) = 1,
tgφ = tg( B + ξ) ,
ξ = φ − B.
(2.1)
Из этого же треугольника возьмем три элемента (два рядом, один отдель-
но:
(90 − φ),(λ − L) , η ) и применим правило Непера:
cos(90 − η) = sin(90 − φ ) sin( λ − L) ,
sin η = cos φ sin( λ − L) .
Так как величины η и ( λ − L) малы, то заменив синусы
окончательно получим
Для вычисления
η = ( λ − L) cos φ .
углов углами
(2.2)
u и Θ возьмем сферический треугольник Z1Z′Z. Это пря-
моугольный треугольник с малыми сторонами. Поэтому его можно рассматри-
вать как плоский и записать зависимости:
ξ = u cosΘ ;
η = u sin Θ ;
(2.3)
(2.4)
15
tgΘ =
η
;
ξ
ξ
η
=
= η2 + ξ 2 .
cos Θ sin Θ
Подставляя ранее полученные выражения для ξ и η имеем
(λ − L) cos φ ,
tgΘ =
φ−B
u=
u=
(φ − B) 2 + (λ − L) 2 cos2 φ .
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
θAm=m1Z1 полного уклонения на вертикальную плос-
кость, имеющую азимут Am. Изобразим отдельно треугольник mZ1Z (рис.2.4).
Найдем проекцию
Рисунок 2.4
Из данного прямоугольного треугольника имеем:
θ Am = u cos R = u cos( Am − Θ) = u cos Am cos Θ + u sin Am sin Θ .
Принимая во внимание выражения (2.3) и (2.4), получим
θ Am = ξ cos Am + η sin Am .
(2.9)
Полученные выше формулы выводились из предположения, что точка
земной поверхности D и соответствующая ей точка на поверхности рефе-
ренц-эллипсоида совпадают.
D земной поверхности не лежит на референц-
эллипсоиде, а имеет некоторую высоту Н.
В общем случае точка
16
Отвесная линия является касательной в данной точке к направлению си-
ловой линии тяжести, которая не является прямой линией (рис.2.5). Это линия
двоякой кривизны и кроме этого ее направление может изменяться скачкооб-
разно (вследствие изменения плотности внутри Земли).
Рисунок 2.5
Поэтому направление отвесной линии в точке
D не совпадает с направле-
нием отвесной линии в точке D0.
В связи с этим для нахождения
ξ пользуются следующей формулой, кото-
рая приводится без вывода
,
ξ = (φ − B) − 0171′′ H км sin 2B .
(2.10)
Здесь Н должно быть взято в км. Последнее слагаемое при Н=1 км, В=45°,
равно 0,17′′.
При астрономо-геодезическом методе определения уклонения отвесных
линий на пункте триангуляции должны быть известны точные астрономиче-
ские и геодезические (из решения прямых задач) координаты. Вследствие
сложности астрономических определений этот метод применяется только на
пунктах Лапласа.
 
 
    Скачать с Depositfiles