Гравиметрический метод вывода уклонений отвесных линий

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
Гравиметрический метод вывода уклонений отвесных линий
Уклонения отвесных линий как и аномалии силы тяжести являются след-
ствие несовпадения действительного и нормального потенциалов Земли, т.е.
функций возмущающего потенциала Т.
17
Получим формулы, выражающие компоненты уклонений отвесных линий
как функции аномалий силы тяжести.
1.Выразим сначала составляющие ξ и ηчерез возмущающий потенциал.
В некоторой точке М земной поверхности построим местную систему ко-
ординат следующим образом (рис.2.6):
-направление оси z совпадает с вектором нормальной силы тяжести;
-ось x по меридиану;
-ось y на восток.
Из рис.2.6 следует:
tgξ = −
tgη = −
gx
;
gz
gy
gz
.
(2.11)
(2.12)
Как известно
∂W ∂U ∂T
=
+
;
∂x
∂x ∂x
∂W ∂U ∂T
,
gy =
=
+
∂y
∂y ∂y
gx =
(2.13)
(2.14)
где W,U,T — соответственно дейст-
вительный, нормальный и возмущаю-
щий потенциалы.
Вследствие
перпендикулярности
Рисунок 2.6
вектора γ к плоскости Mxy получаем
∂U
= γ x = 0;
∂x
∂U
= γ y = 0.
∂y
(2.15)
(2.16)
Поэтому
∂T
;
∂x
∂T
.
gy =
∂y
gx =
(2.17)
(2.18)
18
Имея ввиду, что угол
u не превышает 1′ можно положить, что gz ≈ γ и
окончательно записать
1 ∂T
;
γ ∂x
1 ∂T
.
η= −
γ ∂y
ξ=−
(2.19)
(2.20)
2.Теперь задача составит в нахождении производных
∂T ∂T
,
и подста-
∂x ∂x
новке их в полученные формулы (2.19) и (2.10).
Для плоской Земли возмущающий потенциал вычисляется по формуле:
T=
где
1 g−γ
dσ ,
2π σ r
(2.21)
r — расстояние от данной точки M до элементарной области dσ
(рис.2.7)
Дифференцируя данную формулу получим
∂T
1 g − γ ∂r
=−
∂x
2π σ r 2 ∂x
Расстояние
координат
(2.22)
r является функцией плоских
r 2 = x 2 + y 2 (2.23)
Дифференцируя по x получим
2rdr = 2xdx
Рисунок 2.7
Тогда
dr x
= = cos A
dx r
Отсюда можем записать
∂T (2.24)
  1 g−γ 
     cos Adσ . 
      = 
      ∫ 
        ∂x 2π σ r 2 
∂T (2.25)
  1 g−γ 
     sin Adσ . 
      = 
      ∫ 
        ∂y 2π σ r 2 
По аналогии
19
Подставив полученные производные в формулы (2.19) и (2.20) получим
значения уклонений отвесных линий
ξ ′′ = − ρ′′ g − γ (2.26)
                        cos Adσ , 
                         ∫ 
                           2πγ σ r 2 
η′′ = − ρ′′ g − γ (2.27)
                       sin Adσ . 
                        ∫ 
                          2πγ σ r 2 
Для сферической Земли формулы имеют более сложный вид:
ξ ′′ = − ρ′′ (2.28)
                     ∫ ( g − γ ) Q( ψ ) cos AdψdA , 
                            2π σ 
η′′ = − ρ′′ (2.29)
                    ∫ ( g − γ )Q( ψ ) sin AdψdA , 
                           2π σ 
где ψ — сферическое расстояние от исследуемой точки до текущей;
A — азимут направления, по которому взято ψ;
Q(ψ) — функция от сферического расстояния ψ.
Выражения (2.28), (2.29) называются формулами Венинг-Мейнеса, по име-
ни голландского ученого, давшего их вывод в 1928 г. Величину
Q(ψ) также
называют функцией Венинг-Мейнеса.
2.3.1. Вычисления составляющих уклонений отвеса методом численного
интегрирования
Вычисление составляющих уклонений отвесных линий по формулам Ве-
нинг-Мейнеса представляет собой большие математические трудности, кото-
рые обуславливаются видом функции Венинг-Мейнеса:
Q=
ρ′′
ψ
ψ
ψ
ψ
cos2 cos ec +12 sin − 32 sin 2 +
2
2
2
2
3
ψ 
ψ
ψ
+
− 12 sin 2 ln sin + sin 2   .
ψ
2 
2
2 
1 + sin
2
(2.30)
Данная функция (рис.2.8) при увеличении расстояния быстро убывает, а
при r → 0 подынтегральные выражения в формулах (2.28), (2.29) обращают-
ся в неопределенность.
20
Рисунок 2.8
В настоящее время при вычислениях составляющих уклонений отвеса ис-
пользуются ЭВМ, при этом учитывается влияние масс Земли на больших рас-
стояниях.
Влияние масс Земли на близких расстояниях может быть определено
вручную с помощью палеток, например с помощью палетки В.Ф.Еремеева.
Эта палетка характеризуется следующими свойствами. Пространство во-
круг пункта, в котором необходимо определить составляющие уклонений от-
веса, разбивается концентрическими окружностями на ряд областей. Каждая
область разбивается радиальными направлениями на участки (сферические
трапеции), имеющие равные площади и влияющие на
ξ и ηпропорционально
косинусу или синусу азимута направления. На площади каждой трапеции
должно быть известно среднее значение аномалий силы тяжести.
Учитывая, что функция
до 10° и при
Q значительно изменяется при изменении.ψ от 0
ψ>10° близка к нулю, то при вычислениях гравиметрических ук-
лонений по формулам Венинг-Мейнеса учитывают влияние области, ограни-
ченной
ψ≈9° (≈1000 км). При этом данная область разбивается, в свою оче-
редь на 4 области:
3) 0-5 км (центральная зона), которая выделяется для раскрытия неопре-
деленности в подынтегральных выражениях;
4) 5-100 км;
5) 100-300 км;
6) 300-10000 км.
21
Вычисления в каждой зоне производят отдельно и окончательные значе-
ния уклонений вычисляют по формулам:
ξ = ξ 0 − 5 + ξ 5−100 + ξ100 − 300 + ξ 300 −1000 ;
η = η0 − 5 + η5−100 + η100 − 300 + η300 −1000 .
Практически для вычисления уклонений от сферических расстояний
ψ
удобнее перейти к дугам большого круга:
r = Rψ ;
dr
dψ = ,
R
где R – радиус Земли.
Тогда формулы (2.28) и (2.29) примут вид
ρ′′ r 2 π (2.31)
      ξ ′′ = − 
             ∫ ∫ ∆gQ cos AdrdA , 
                   2πR 0 0 
ρ′′ r 2 π (2.32)
      η′′ = − 
             ∫ ∫ ∆gQ sin AdrdA , 
                   2πR 0 0 
Определение влияния аномалий в центральной зоне.
Окружность радиуса 5 км разбивается на 8 участков (рис.2.9). Аномалия в
произвольной точке равна
g − γ = ( g − γ )0 +
∂( g − γ )
r
∂r
Просуммируем
ξ5
0
ρ′′ ( g − γ 0 )
ρ′′ 2 π 5 ∂( g − γ )
=−
∫ r cos AdrdA − 2πγ ∫ ∫ ∂r cos AdrdA
2 πγ σ
0 0
Так как
∫ cos AdA = 0 , поэтому
0
ξ5
0
ρ′′ 2 π
5
=−
∫ ( g − γ ) 0 cos AdA =
2 πγ 0
ρ′′ 2 π
ρ′′ 2 π
∫ ( g − γ )r =5км cos AdA − 2 πγ ∫ ( g − γ ) cos AdA
2 πγ 0
0
22
Рисунок 2.9
Первый член в последнем уравнении соответствует точкам на границе 5-
км зоны, а второй равен 0.
Принимая
∆=
, получим
8
ρ′′ 1 8 (2.33)
     ξ ′′ = − 
            ∑ ( g − γ )r = 5км cos A 
                   0 
                   γ 8 1 
ρ′′ 1 8 (2.34)
     η′′ = − 
            ∑ ( g − γ )r =5км sin A 
                   0 
                   γ 8 1 
5
5
При ρ′′=206265, γ=0.98⋅106 мГал, можем записать окончательные форму-
лы
8
ξ ′′ = −0,0263∑ ( g − γ )r =5км cos A (2.35)
              0 
η′′5 = −0,0263∑ ( g − γ )r =5км sin A (2.36)
              0 
 
Расчет палетки для зоны от 5 до 100 км.
Разобьем окружность на 16 частей и обозначим
∆A =
-шаг радиусов;
16
1
∫ r dr = P -шаг окружностей.
Подставим эти значения в формулу (2.31):
ρ′′ 100 2 π g − γ
cos AdrdA .
ξ ′′ = −
∫ ∫
2πγ 5 0 r
(2.37)
23
Выполнив интегрирование, получим
ξ100 = −
5
где
Pρ′′ 16 VII
∑ ∑ ( g − γ ) m cos A ,
16γ 1 1
(2.38)
( g − γ ) m — средняя аномалия в секторе.
Аналогично будем иметь для второй составляющей
η100
5
Pρ′′ 16 VII
=−
∑ ∑ ( g − γ ) m sin A .
16γ 1 1
(2.39)
Палетку (рис.2.10) изготавливают на прозрачной основе в масштабе гра-
виметрической карты (обычно 1:1 000 000). Радиальные направления прово-
дят через 22°30′, причем первое направление на 11°15′ от направления се-
вер-юг и нумеруют по ходу часовой стрелки арабскими цифрами. Кольцевым
зонам дают нумерацию 0,I,II,….VIII.
Радиусы палетки имеют следующие значения:
Радиус в км
Номер зоны
I
5,0-7,3
II
7,3-10,7
III
10,7-15,7
IV
15,7-22,8
V
22,8-33,3
VI
33,3-48,5
VII
48,5-70,6
VIII
70,6-102,6
Палетку накладывают на карту так, чтобы ее центр совпал с определяе-
мым пунктам, а линия NS с меридианом. Затем в каждой трапеции палетки
определяют среднее значение аномалии
( g − γ ) m , умножают на соответст-
вующие коэффициенты и подсчитывают суммы полученных произведений.
При описанных вычислениях получают абсолютные уклонения отвесных
линий, относящиеся к «нормальной Земле» (уровенному эллипсоиду). Обра-
ботка же геодезических измерений производится на референц-эллипсоиде.
Поэтому самостоятельного значения гравиметрический метод в геодезии не
имеет.
    Скачать с Depositfiles