Интерполирование астрономо-геодезических уклонений отвесных линий с учетом гравиметрических данных (астрономо-гравиметрический метод вывода уклонений

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
Интерполирование астрономо-геодезических уклонений отвесных линий
с учетом гравиметрических данных (астрономо-гравиметрический метод
вывода уклонений отвеса)
Наиболее точные значения относительных уклонений отвеса получают ас-
трономо-геодезическим способом на пунктах Лапласа. Иметь высокую плот-
24
ность (через 5-10 км) пунктов Лапласа невыгодно. Вместе с тем гравиметри-
ческие измерения проще чем астрономо-геодезические. Поэтому советскими
геодезистами Красовским и Молоденским предложен способ, основанный на
сочетании первых двух способов, называемый астрономо-гравиметрическим.
Рисунок 2.10
25
В этом способе достаточно иметь редкую сеть астрономо-геодезических
пунктов, на которых уклонения отвесных линий выводятся астрономо-
геодезическим способом. Расстояние между пунктами 150-200км. Это пункты
Лапласса. На остальных пунктах астрономо-геодезической сети (1 и 2 клас-
сов) относительные уклонения отвеса получают путем интерполирования.
Основное применение нашел способ М.С. Молоденкого. В основе способа
лежат исследования, показавшие, что разности астрономических и гравимет-
рических уклонений отвеса изменяются на поверхности Земли по линейному
закону. Иными словами, указанные разности будут линейными функциями ко-
ординат пунктов.
Получим формулы интерполирования астрономо-геодезических уклонений
отвеса между пунктами Лапласа.
n пунктов Лапласа определены астрономо-
аг
аг
гр
гр
геодезические отвеса уклонения ξ и η , а также гравиметрические ξ и η .
Предположим, что для
Тогда можно образовать разности
∆ξ i = ξ аг − ξ гр 
i
i 
 ( i = 1, …, n).
гр
аг
∆ηi = ηi − ηi 
(2.40)
По Молоденскому эти разности будут линейными функциями плановых
координат
∆ξ i ≈ a0 + a X X i + aY Yi 
∆ηi ≈ b0 + bX X i + bY Y 
(i=1,
…, n) .
(2.41)
Неизвестными в уравнениях (2.41) являются интерполяционные коэффи-
циенты
a0 , a X , aY , b0 , bX , bY .
Для решения задачи необходимо не менее трех равномерно расположен-
ных пунктов. Для обеспечения контроля и повышения точности число пунктов
Лапласа в сети должно быть больше трех. В этом случае коэффициенты на-
ходят по способу наименьших квадратов.
Параметрические уравнения согласно (2.41) запишутся
viξ = a0 + a X X i + aY Yi − ∆ξ i 
viη = b0 + bX X i + bY Y − ∆ηi 
(i=1,
…, n).
(2.42)
Для упрощения вычислений начало координат перенесем в центр тяжести
системы пунктов Лапласа. Координаты пунктов в новой системе будут равны
xi = X i − x0 ;
yi = Yi − y0 ,
26
где
x 0 , y 0 — координаты центра тяжести, которые определяются по фор-
мулам
n
x0 =
n
∑ Xi
1
n
y0 =
;
∑ Yi
1
n
Тогда уравнения поправок примут вид
viξ = a0 + a x xi + a y yi − ∆ξ i 
(2.43)
 ( i=1, …, n).
η
vi = b0 + bx xi + by y − ∆ηi 
Безусловно, неизвестные ax , a y ,b x , by в уравнениях (2.43) не равны неиз-
вестным
a X ,aY ,b X , bY в уравнениях (2.42).
Из уравнений (2.43) получаем 2 независимые системы нормальных урав-
нений
1 система
[ x ]a0 + x 2 ax + [ xy ]a y − [ x∆ξ] = 0 
+ [ xy ]ax + y 2 a y − [ y∆ξ] = 0
[ y ]a 0
na0 + [ x ]ax + [ y ]a y − [ ∆ξ] = 0
[ ]
[ ]
2 система
[ x ]b0 + x 2 bx + [ xy ]by − [ x∆η] = 0 
2
[ y ]b0 + [ xy ]bx + y by − [ y∆η] = 0
nb0 + [ x ]bx + [ y ]by − [ ∆η] = 0
[ ]
[ ]
Учитывая, что мы используем центральные координаты пунктов, то
[ x ] = 0, [ y ] = 0 . Тогда имеем
1 система
na0 − [ ∆ξ] = 0
x 2 a x + [ xy ]a y − [ x∆ξ] = 0
2
[ xy ]a x + y a y − [ y∆ξ] = 0
[ ]
[ ]
(2.44)
27
2 система
nb0 [ ∆η] = 0
x 2 bx + [ xy ]by − [ x∆η] = 0
2
[ xy ]bx + y by − [ y∆η] = 0
[ ]
(2.45)
[ ]
Решая первые уравнения систем (2.44) и (2.45) находим
a0 =
[ ∆ξ] ,
n
b0 =
[ ∆η] .
n
Остальные неизвестные получаем из систем оставшихся двух уравнений.
Важно заметить, что матрица коэффициентов уравнений (2.44) и (2.45) одна и
та же
[x ]
2
[ xy ]
[ xy ]
[y ]
2
.
На практике интерполирование уклонений отвесных линий производят в
пределах одного полигона 1 класса астрономо-геодезической сети (рис.2.11).
Рисунок 2.11
28
Обычно это 9 пунктов Лапласа. Они имеют астрономические и геодезиче-
ские координаты. На пунктах 1-9 произведены и гравиметрические наблюде-
ния. На пунктах I — IV выполнены только гравиметрические измерения. В этих
пунктах необходимо определить астрономо-геодезические уклонения отвеса.
На пунктах Лапласа (1-9) вычисляют разности
∆ξ i = ξ аг − ξ гр 
i
i 
 ( i = 1, …, 9).
гр
аг
∆ηi = ηi − ηi 
По данным разностям и координатам составляют нормальные уравнения
(11) и (12) и находят интерполяционные коэффициенты
a 0 ,a x , a y ,b0 ,b x , by .
Поправки на пунктах I,II,III,IV находят по формулам
∆ξ инт = a0 + a x xI + a y yI
I
………………………………..
∆ξ инт = a0 + a x xIV + a y yIV
IV
∆ηинт = b0 + bx xI + by yI
I
………………………………..
∆ξ инт = a0 + a x xIV + a y yIV
IV
;
Находят астрономо-геодезические уклонения отвесов в точках I,II,III,IV
ξ аг = ξ гр + ∆ξ iинт ;
i
i
ηаг = ηгр + ∆ηiинт .
i
i
Оценку точности интерполирования уклонений отвеса выполняют по фор-
мулам
[v v ]
ξ ξ
m∆ξ =
; (2.46)
[v v ] , (2.47)
n−3
η η
m∆η =
где
n−3
v ξ , v η — поправки получаемые после подстановки найденных коэффи-
циентов в уравнения (2.43)
n -число астропунктов.
Данный способ позволяет определять уклонения с точностью 0,3′′ на тер-
ритории покрытой сплошной астрономо-геодезической и гравиметрической
сетью ( в равнинных, неаномальных районах). На окраинных районах страны
и на аномальных горных массивах точность несколько ниже -0,5′′.
 
    Скачать с Depositfiles