Определение гипсометрических составляющих высоты

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
3.3. Определение гипсометрических составляющих высоты
3.3.1. Измеренные высоты
При геометрическом нивелировании на каждой станции визирный луч ус-
танавливается в строго горизонтальное положение, т.е. перпендикулярно к
34
отвесной линии и касательно к уровенной поверхности. При этом определяют
расстояние между уровенными поверхностями, проходящими через нули зад-
ней и передней реек.
Если бы уровенные поверхности были параллельны между собой, то вы-
соту
H M точки М, относительно исходной точки О (нуль-пункта нивелировок)
можно было бы определить путем суммирования элементарных превышений:
M
изм
H M = ∑ hi .
(3.11)
O
Такое допущение возможно только в работах малой точности (техническое
нивелирование, нивелирование III и IV класса) или в точных нивелировках при
очень малой протяженности нивелирного хода. В высокоточных работах и ко-
гда высоты передаются на большие расстояния необходимо учитывать непа-
раллельность уровенных поверхностей.
Непараллельность уровенных поверхностей приводит к тому, что изме-
ренное значение высоты зависит от пути, по которому производится нивели-
рование. Покажем это.
Представим мысленно нивелирование по двум трассам (рис.3.4):
Рисунок 3.4
1) от точки О до D и от точки D по уровенной поверхности к точке М;
2) от точки О вдоль поверхности геоида к точке С и от точки С к точке М.
ОD, во втором CM, а реальное нивели-
рование по физической поверхности дало бы еще одно значение H M .
В первом случае мы получили бы
35
Таким образом, нельзя пользоваться измеренными высотами из-за их
неопределенности.
3.3.2. Требования к системам высот
Сформулируем основные требования к системе высот в порядке их зна-
чимости:
1) высоты пунктов должны быть однозначно определены независимо от
трассы нивелирования;
2) высоты должны определяться лишь по данным измерений на физиче-
ской поверхности Земли без привлечения каких либо гипотез о ее внутреннем
строении;
3) поправки в измеренные превышения должны быть достаточно малы,
чтобы ими можно было пренебречь при обработке нивелировок низших клас-
сов;
4) принятой системе высот должен соответствовать достаточно строгий и
удобный способ определения геоидальной части геодезической высоты;
5) высоты должны быть по возможности постоянными для точек на одной
уровенной поверхности.
3.3.3. Геопотенциальные величины
Как следует из теории потенциала (Лемма Брунса), разность потенциалов
силы тяжести между точками стояния передней и задней реек при получении
dh будет равна
dW = − gdh ,
каждого элементарного превышения
где
(3.12)
g – сила тяжести.
Отсюда получаем следующую формулу для разности потенциалов силы
тяжести в текущей точке нивелирования М и в нуль-пункте О
WM − W0 = ∫ dW = − ∫ gdh . (3.13)
CM = W0 − WM = ∫ gdh . (3.14)
OM
OM
Изменив знак получим
OM
Разность потенциалов в исходном пункте
О и в точке М называют геопо-
тенциальной величиной (геопотенциальным числом).
Геопотенциальную величину получают из совместных измерений превы-
шений
dh и силы тяжести g по линии нивелирования.
36
Геопотенциальное число не зависит от трассы нивелирования. По-
этому именно геопотенциальное число является главной характеристикой ре-
пера как непосредственно измеренная величина, а не какие-либо расстояния
от данной точки до некоторых воображаемых поверхностей.
Если силу тяжести выразить в Кгал (10⋅м⋅с-2), а превышение в метрах, гео-
потенциальное число по величине будет близко к высоте в метрах. Например,
для горы Монблан (Альпы) геопотенциальное число равно 4710 Кгал⋅м или
4710 гал⋅км, а высота над уровнем моря 4807 м. Для меньших высот над уров-
нем моря отличие геопотенциального числа от высоты будет еще меньше.
При перемещении по уровенной поверхности, когда
W0 − WM = const ,
работа не совершается; нам легче идти от точки с меньшим потенциалом к
большему, т.е. от точки с большим геопотенциальным числом к меньшему.
Вода в реках всегда течет в направлении уменьшения потенциального числа,
а уровень воды в водоемах совпадает с поверхностью равных геопотенци-
альных чисел.
Расстояние между уровенными поверхностями прямо пропорционально
разности потенциалов и обратно пропорционально величине силы тяжести в
некоторой точке силовой линии.
Поэтому запишем общую формулу для вычисления высоты (расстояния
между уровенными поверхностями) в гравитационном поле
HM =
где
W0 − WM
,
g
(3.15)
g — некоторое значение силы тяжести.
Если в формулу (3.15) подставлять различные значения, то получим раз-
личные высоты: ортометрические, нормальные, динамические.
3.3.4. Ортометрические высоты
Ортометрическая высота — высота точки физической поверхности над
поверхностью геоида, отложенная по силовым линиям поля силы тяжести.
Она вычисляется по формуле
∫ gdh
g
H M = OM
gm
где
=
CM
,
gm
(3.16)
g m — среднее интегральное значение силы тяжести вдоль силовой ли-
нии СМ (см.рис.3.4).
37
Так как непосредственных измерений вдоль линии
ры мы не имеем, то
СМ внутри земной ко-
H g можно вычислить задаваясь той или иной гипотезой
g
распределения масс внутри Земли, и точность вычисления H будет зави-
сеть от степени достоверности гипотезы.
Поэтому геометрически ясное понятие ортометрической высоты строго не
реализуется (не выполняется условие 2). Неопределенность в ортометриче-
ских высотах вызывает неопределенность в высотах геоида над референц-
эллипсоидом.
3.3.4. Нормальные высоты
Молоденский М.С. предложил использовать в формуле (3.15) нормальное
значение силы тяжести, которое можно вычислить по строгим формулам, на-
пример по формуле Гельмерта.
Высоты, вычисленные по нормальным значениям силы тяжести, называют
γ
нормальными и обозначают H
Нормальная высота определяется через геопотенциальное число сле-
дующим образом
Hγ =
где
W0 − WM 1
= ∫ gdh ,
γm
γ OM
(3.17)
γ m -среднее значение на отрезке H γ значение нормальной силы тя-
жести или значения нормальной силы тяжести для средней величины точки М
γ m = γ 0 − 0,3086
= γ 0 − ∆γ ,
2
где
(3.18)
γ 0 -нормальная сила тяжести на отсчетном эллипсоиде на широте
точки М.
∆γ -поправка на изменение нормальной силы тяжести с высотой.
γ
По определению нормальная высота H вычисляется строго без знания
строения земной коры.
Если от точек на физической поверхности откладывать по нормали к ре-
ференц-эллипсоиду нормальные высоты, то можно строго определить от-
счетную поверхность, которую М.С.Молоденский предложил назвать квази-
геоидом.
38
На морях и океанах квазигеоид и геоид совпадают, а на суше их расхож-
дения равны
δζ ≈ −
где
∆g Б γ
H ,
γ
(3.18)
∆g Б – аномалия Буге.
Поскольку аномалии Буге преимущественно имеют знак минус, то поверх-
ность квазигеоида обычно располагается выше поверхности геоида.
При
H γ <500м (равнинные и всхолмленные районы) и ∆g Б ≈ 50мгал,
δζ <2,5см. На высокогорных плато при H γ =5000 м, ∆g Б ≈ -400мгал,
δζ ≈ 2 м.
В нашей стране при обработке высокоточного нивелирования принято вы-
числять разности нормальных высот
H iγ+1 − H iγ , затем эти разности уравни-
вают и получают нормальные высоты реперов.
Для вычислений используется формула
H iγ+1 − H iγ
= ∆h +
( g − γ )m
γm
γ i0 − γ i0+1 γ
∆h +
Hm .
γm
(3.19)
Первый член представляет сумму элементарных превышений, получен-
ную из нивелирования; второй – поправку за аномалии силы тяжести на стан-
циях нивелирования, третий – поправку за непараллельность уровенных по-
верхностей нормального поля.
В формуле (3.19) приняты следующие обозначения:
∆h – измеренное превышение;
( g − γ )m – средняя по секции аномалия в свободном воздухе;
γ i0 − γ i0+1 – разность значений нормальной силы тяжести на эллипсоиде
на широте реперов;
γ
H m – средняя высота секции;
γ m – значение нормальной силы тяжести для средней высоты и широты
секции (на всей территории Украины для вычисления нормальных высот при-
нято
γ m =980000 мГал).
Для вычисления поправок за переход к нормальным высотам по линиям
нивелирования I и II классов производятся гравиметрические измерения. Рас-
39
стояние между гравиметрическими пунктами в зависимости от уклонов мест-
ности устанавливаются «Инструкцией по нивелированию…» (табл.3.1).
Класс нивели-
рования
I
II
Разности
Таблица 3.1
Расстояние (в км) между гравиметрическими пунктами при
уклонах