Редукция угловых величин

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
4.2. Редукция угловых величин
4.2.1. Редукция астрономических азимутов и горизонтальных направлений
Для вывода формулы выражающей разность геодезического и астрономи-
ческого азимутов вернемся к рис.2.3 вывода уклонений отвесных линий. Со-
гласно этому рисунку для некоторого направления DM можно записать
A=Θ+R
Отсюда
и
a = Θ1 + R1 .
A − a = (Θ − Θ1 ) + (R − R1 ),
(4.1)
где A и a — соответственно геодезический и астрономический азимуты.
Разность Θ − Θ1 найдем из ∆PZZ1 , применяя формулу косинусов углов
сферического треугольника
cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a ,
т.е.
(
)
(
)
cos 180o − Θ1 = − cos Θ cos(λ − L ) + sin Θ sin (λ − L ) cos 90o − B ,
откуда
− cos Θ1 = − cos Θ cos(λ − L ) + sin Θ sin (λ − L )sin B .
(4.2)
Учитывая, что λ − L величина малая (несколько секунд), можем принять с
достаточной точностью
sin (λ − L ) ≈ λ − L .
cos(λ − L ) ≈ 1 ;
Поэтому формула (4.2) преобразуется в следующую
cos Θ − cos Θ1 = (λ − L )sin Θ sin B .
Левую часть запишем следующим образом
(4.3)
45
cos Θ − cos Θ1 = −2 sin
Θ + Θ1
Θ − Θ1
.
sin
2
2
(4.4)
С достаточной степенью точности можем принять
Θ + Θ1
≈ Θ,
2
а
sin
Θ − Θ1 Θ − Θ1
.
2
2
Тогда формула (4.4) примет вид
cos Θ − cos Θ1 = −(Θ − Θ1 )sin Θ .
(4.5)
Подставляя выражение (4.5) вместо левой части формулы (4.3) и произ-
водя преобразования получим
− (Θ − Θ1 ) sin Θ = (λ − L ) sin Θ sin B ,
Θ − Θ1 = (L − λ )sin B .
(4.6)
Аналогично, применив теорему косинусов углов для треугольника mZZ1 ,
получим
(
)
(
)
cos R = − cos 180o − R1 cos q + sin 180o − R1 sin q cos Z ;
cos R = cos R1 cos q + sin R1 sin q cos Z ;
cos q ≈ 1 ;
sin q ≈ q ;
cos R − cos R1 = q sin R1 cos Z ;
R + R1
R − R1
;
sin
2
2
R − R1 R − R1
R + R1
;
≈ R1 , sin
2
2
2
cos R − cos R1 = − sin R1(R − R1 );
cos R − cos R1 = −2 sin
(R − R1 )sin R1 = −q sin R1 cos Z ;
(R − R1 ) = −q cos Z .
(4.7)
Значение q определим из треугольника mZZ1 по теореме синусов
sin q sin R
.
=
sin u sin Z
Так как величины q и u малы и R = A − Θ , то
u sin R u sin ( A − Θ )
.
=
sin Z
sin Z
Преобразуем выражение sin ( A − Θ ) и подставим в формулу (4.8)
q=
sin ( A − Θ ) = sin A cos Θ − cos A sin Θ ;
u sin A cos Θ − u cos A sin Θ
.
sin Z
Учитывая формулы (2.3) и (2.4), т.е. ξ = u cos Θ ; η = u sin Θ , запишем
q=
(4.8)
46
q=
ξ sin A − η cos A
;
sin Z
(4.9)
Подставляя полученное выражение (4.9) в формулу (4.7) получим
(R − R1 ) = − ξ sin A − η cos A cos Z = η cos A − ξ sin A .
sin Z
tgZ
(4.10)
Данная формула выражает поправку в измеренное направление при ре-
дуцировании его на поверхность референц-эллипсоида.
Подставляя в исходную формулу (4.1) выражения (4.6) и (4.10) имеем
Данная формула выражает поправку в измеренное направление при ре-
дуцировании его на поверхность референц-эллипсоида.
Подставляя в исходную формулу (4.1) выражения (4.6) и (4.10) имеем
A − a = (L − λ )sin B +
η cos A − ξ sin A
.
tgZ
(4.11)
Первое слагаемое постоянно для данного пункта и представляет собой
поправку азимута за несовпадение плоскостей астрономического и геодези-
ческого меридианов.
Второе слагаемое
v1 = ∆M =
η cos A − ξ sin A
= (η cos A − ξ sin A)ctgZ
tgZ
представляет собой поправку в направление
нием отвесной линии в точке
(4.12)
DM, обусловленную уклоне-
D.
При введении в измеренное направление поправки v1 переходят от двух-
гранного угла, у которого ребром является отвесная линия, к соответствую-
щему двугранному углу, у которого ребром являются нормаль к поверхности
референц-эллипсоида.
Зенитные расстояния сторон, на которых выполняются астрономические
определения азимута в большинстве случаев весьма близки к 90°. Значение
tgZ при таких углах достаточно велико (не менее 150-200) по сравнению с
числителем, равным нескольким секундам, а величины v1 обычно не превос-
ходит 0,02-0,03′′. Поэтому в большинстве случаев данную поправку не учиты-
вают и пользуются формулой
(4.13)
A − a = (L − λ )sin B .
Принимая во внимание, что φ ≈ B и η = (λ − L ) cos φ , запишем
A = a + (L − λ )sin φ = a + ηtgφ .
(4.14)
Последнее уравнение называется уравнением Лапласа, а азимут вычис-
ленный по данной формуле называется азимутом Лапласа. Пункты триангу-
47
ляции, на которых определены астрономические координаты и азимут назы-
ваются пунктами Лапласа.
Ошибка азимута Лапласа вычисляется по формуле
2
2
m A = ma + mλ sin 2 B .
(4.15)
На пунктах Лапласа АГС бывшего СССР астрономические определения
регламентировались следующими ошибками: ma =0,5′′; mλ =0,03s=0,45′′. При
B=50° значение m A , вычисленное по формуле (4.15) составляет 0,61′′.
4.2.2. Поправка в измеренные горизонтальные направления за высоту
наблюдаемого пункта
Эта поправка обусловлена тем, что нормали к эллипсоиду в общем случае
являются скрещивающимися прямыми, и поэтому проекция наблюдаемого
пункта на эллипсоид по нормали к нему не лежит в плоскости прямого нор-
мального сечения с пункта, на котором выполнялись измерения на наблю-
даемый пункт.
Пусть с пункта D наблюдается пункт Q имеющий высоту H 2 над поверх-
ностью эллипсоида (рис.4.1).
Спроектируем данные точки на поверхность эллипсоида по нормалям и
получим проекции на эллипсоиде d и q . Нормали пересекут ось вращения в
точках d ′′ и q′′ .
Проведем меридианы dP и qP . Отметим на оси вращения центр эллип-
соида – точку O . Пунктиром отметим прямое нормальное сечение dq′ , яв-
ляющееся следом нормальной плоскости, которая включает точку D , нор-
маль Dd ′d ′′ и точку Q .
Направление dq′ получается после введения в него поправки за уклоне-
ние отвеса.
Чтобы перейти к действительной проекции направления на эллипсоид dq
необходимо ввести поправку.
Из малого сферического треугольника dqq′ запишем
qq′
S
.
=
sin v2 sin ∠dq′q
(4.16)
Найдем угол ∠dq′q . Так как ∠dqq′ = 360o − A21 , то
(
)
∠dq′q = 180o − 360o − A21 − v2
48
Рисунок 4.1
Учитывая, что поправка v2 , как правило не превышает 0,1′′, а прямой и
обратный азимуты отличаются не более нескольких минут, с достаточной
точностью можно записать
∠dq′q = A21 − 180o ≈ A21 .
Из формулы (4.16) следует
qq ′
(4.17)
sin A21 .
S
Из прямоугольного треугольника Qqq′ (прямой угол в точке q так как Qq
v2 = ρ′′
является нормалью) имеем
qq′ = H 2 sin ν .
Из треугольника Qq′′d ′′ получим
(
)
sin ν sin 90o − B2
;
=
d ′′q′′
Qd ′′
sin ν = d ′′q′′
cos B2
.
Qd ′′
(4.18)
В курсе сферической геодезии была выведена формула для расстояния
от центра до пересечения нормали с осью вращения
Qd ′′ =
ae 2 sin B1
1 − e 2 sin 2 B1
= N1e 2 sin B1 .
49
Тогда
d ′′q′′ = N 2e 2 sin B2 − N1e 2 sin B1 .
С достаточной для вывода точностью можно записать
N 2 ≈ N1 ≈ Qd ′′ ≈ N ;
Ne 2 (sin B2 − sin B1 ) cos B2
sin ν =
= e 2 (sin B2 − sin B1 ) cos B2 .
N
Распишем разность синусов
B + B2
B − B1
.
sin B2 − sin B1 = 2 cos 1
sin 2
2
2
Полагая, что B2 − B1 величина сравнительно небольшая (не более 30′ при
S=35-40 км), запишем
sin B2 − sin B1 = (B2 − B1 ) cos Bm ,
где Bm — средняя широта точек.
Проекция длины S cos A12 есть длина дуги меридиана т.е.
S cos A12 = (B2 − B1 )M .
Тогда
(B2 − B1 ) =
S
cos A12 ;
M
S
cos A12 cos Bm cos B2 ;
M
S
qq′ = H 2e 2
cos A12 cos Bm cos B2 .
M
sin ν = e 2
Подставляя полученное выражение в формулу (4.17) и принимая, что
cos Bm ≈ cos B2 получим окончательную формулу
′′
v2 = ρ′′
e2 H 2
cos A12 sin A12 cos 2 B2
M
или
e2 H 2
′′
v2 = ρ′′
sin 2 A12 cos 2 B2 .
2M
Для эллипсоида Красовского можно принять ρ′′
(4.18)
e2
≈ 0,108′′ . Поэтому по-
2M
лучим
e2
′′
v2 = 0,108′′ρ′′
H 2 sin 2 A12 cos 2 B2 .
2M
(4.19)
50
При B2 =45°, A12 =45°, H 2 =1000 м, величина поправки за высоту наблю-
даемого пункта v2 ≈ 0,05′′.
Поправка за высоту, хотя и невелика, но имеет систематический характер
и ею нельзя пренебрегать при вычислениях направлений в триангуляции 1 и 2
классов в горных районах.
Она не зависит от расстояния между пунктами и должна учитываться при
точных геодезических построениях независимо от длин сторон этих построе-
ний.
4.2.3. Общая формула приведения направления на поверхность эллипсоида
Полная редукция горизонтального направления на эллипсоид выражается
формулой:
(4.20)
∆M = v1 + v2 + v3 .
Поправку v1 вычисляют по формуле (4.12). При ее введении переходят от
двугранного угла, у которого ребром является отвесная линия, к соответст-
вующему углу, у которого ребром является нормаль к поверхности референц-
эллипсоида.
Поправку v2 вычисляют по формуле (4.18) или (4.19). Введение данной
поправки предполагает переход от граней проходящих через точки на земной
поверхности к граням, проходящим через их проекции на эллипсоиде.
Поправка v3 предполагает переход от нормального сечения к геодезиче-
ской линии. Формула для ее вычисления получена в сфероидической геоде-
зии
ρ′′ S 2 2
v3 =
e cos 2 B1 sin 2 A12 .
2
12 N1
(4.21)
Для эллипсоида Красовского
v3 = 0,0282′′S 2 cos 2 B1 sin 2 A12 .
(4.22)
 
4.3. Редукция линейных измерений. Редукция свето- и радиодальномерных измерений
Существует два метода высокоточного измерения расстояний: метод све-
то- и радиодальномерных измерений и измерения подвесными мерными при-
борами (инварными проволоками). В современных условиях длины сторон в
51
государственных геодезических сетях измеряют, как правило, радио или све-
тодальномерами. Поэтому редуцирование линейных измерений рассмотрим
применительно к данному способу.
Свето- и радиодальномерами измеряются расстояния безотносительно к
какой-либо поверхности. Иначе говоря наклонные расстояния не связаны с
направлениями отвесных линий.
Пусть из измерений получено наклонное расстояние между точками
АиВ
S (рис.4.2). Геодезические высоты точек соответственно H A и H B . Необ-
ходимо найти длину дуги S 0 , являющейся проекцией расстояния
ность относимости.
S на поверх-
Рисунок.4.2
Примем во внимание, что длины линий в государственной геодезической
сети не превышают 30 км. Из курса сфероидической геодезии известно, что
при расстояниях до 30 км поверхность земного эллипсоида можно заменить
поверхностью сферы с радиусом, равным радиусу кривизны в средней точке
по направлению стороны Rm .
При редуцировании наклонной дальности S сначала вычисляют длину хор-
ды c, а от нее переходят к длине дуги S 0 .
Длину хорды c найдем из треугольника A0OB0 по теореме косинусов
2
2
2
c 2 = 2 Rm − 2 Rm cos γ = 2 Rm (1 − cos γ ) .
(4.23)
Для получения угла γ запишем аналогичное соотношение в треугольнике
AOB
52
S 2 = (Rm + H A )2 + (Rm + H B )2 − 2(Rm + H A )(Rm + H B ) cos γ ;
− S 2 + (Rm + H A )2 + (Rm + H B )2
.
cos γ =
2(Rm + H A )(Rm + H B )
(4.24)
(4.25)
Подставим полученное выражение в формулу (4.23) и произведя преобра-
зования получим
S 2 − (H B − H A )2
.
c =
 H A  H B 
1 +
1 +
Rm 
Rm 

2
(4.26)
С другой стороны
γ
c = 2 Rm sin ;
2
γ
c
.
sin =
2 2 Rm
(4.27)
(4.28)
Теперь найдем длину дуги с центральным углом γ
S 0 = 2 Rm arcsin
γ
c
= 2 Rm arcsin
.
2
2 Rm
(4.29)
Разложим arcsin в ряд:
x3 3×5
+
arcsin x = x +
6
40
c
c
c3
3c 5
.
(4.30)
=
+
+
arcsin
3
5
2 Rm 2 Rm 6 ⋅ 8Rm 40 ⋅ 32 Rm
Подставим значение arcsin в формулу (4.29) и произведя необходимые
преобразования окончательно получим
S0 = c +
c3
2
24 Rm
+
3c 5
4
640 Rm
. (4.31)
. (4.32)
или
S0 − c =
c3
2
24 Rm
+
3c 5
4
640 Rm
Последняя формула выражает поправку за переход от длины хорды к дли-
не дуги. Поправка эта всегда мала. Так при S=30 км она составляет всего
6 см.
Радиус кривизны при редуцировании измеренных расстояний можно вы-
числить по формуле
53
 e2
Rm = R1 − cos 2 Bm cos 2 A  ,
2
где
(4.33)
R-средний радиус кривизны, вычисленный по средней широте точек
Bm ;
A — азимут направления между двумя точками.
При сравнительно малых расстояниях (S<15 км) достаточно считать
Rm = R .
 
 
    Скачать с Depositfiles