Основные системы координат, применяемые в сфероидической геодезии

1.2 Основные системы координат, применяемые в сфероидической геодезии
Система прямоугольных пространственных координат
За начало координат принимается центр эллипсоида, ось Z располагается
по полярной оси эллипсоида, ось X — в плоскости, перпендикулярной оси враще-
ния, ось Y дополняет систему координат до правой (рис.1.3).
Координаты точки M на эллипсоиде в этой системе следующие:
X=M1M2,
Y=OM2,
Z=MM1.
Z
P
M
90
o
Пространственные координаты
X,Y,Z до последнего времени
X
E
M
M1
R1
Рис.1.3
имели небольшое применение как
в теоретических выводах, так и в
практических вычислениях. Одна-
ко в связи с широким внедрением
в геодезическую практику спутни-
ковых методов позиционирования
данная система координат приоб-
ретает большое теоретическое и
практическое значение.
Система геодезических координат
Плоскости, перпендикулярные оси вращения, в пересечении с поверхностью
эллипсоида дают окружности. Эти окружности называются параллелями. Па-
раллель с наибольшим радиусом
r=a
называется экватором (рис.1.4).
Пересекая поверхность эллипсоида
плоскостями, содержащими ось враще-
ния, получим в сечении совершенно
одинаковые кривые — эллипсы. Полови-
на каждого эллипса, расположенная
между полюсами, называется мери-
дианом.
Рис.1.4
Параллели и меридианы можно
применять в качестве системы ортого-
нальных линий на эллипсоиде, так как
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
10
каждая параллель пересекается с каждым меридианом под прямым углом, а их
пересечение определяет положение единственной точки на поверхности эллип-
соида.
В данной системе в качестве координат приняты угловые величины. Рас-
смотрим их.
Примем один из меридианов за на-
P
чальный (например, меридиан PAP1,
ан
L
рис.1.5). Тогда положение любого другого
M
меридиана будет определяться двугран-
ным углом, составленными плоскостью
E1
O
E
B
начального меридиана и плоскостью дан-
n
ного меридиана. Этот угол имеет одну и
A
ту же величину для всех точек данного
P1
Рис.1.5
меридиана, обозначается буквой
ляется геодезической долготой.
L и яв-
Геодезической долготой L некото-
рой точки M называется двугранный угол, образованный плоскостью начального
меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через данную точку M.
В качестве начального меридиана для счета долгот в настоящее время по-
всеместно принят меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию, —
Гринвичский меридиан. Долготы, отсчитываемые от плоскости начального ме-
ридиана к востоку (в северном полюсе — против движения часовой стрелки) в
пределах от 0 до 180 называют восточными долготами, а к западу в пределах от
0 до -180 — западными долготами точки.
Таким образом, меридиан есть координатная линия, во всех точках которых
геодезическая долгота имеет одну и ту же величину (L=const). Для установле-
ния второй координаты проведем нормаль к поверхности эллипсоида в точке M.
Она пересечет ось вращения в точке n.
Острый угол, образованный нормалью к поверхности эллипсоида и плоско-
стью экватора (или плоскостью любой параллели) называется геодезической
широтой — B.
Геодезическая широта отсчитывается от плоскости экватора до полюсов в
пределах от 0 до 90 . Для точек, расположенных в северном полусфероиде, ее
принято называть северной и считать положительной, а в южном полусфероиде
— соответственно южной и отрицательной.
Таким образом, параллель есть координатная линия, во всех точках которой
широта имеет одну и ту же величину (B=const).
Система геодезических координат является единой для всей поверхности
эллипсоида. В этом заключается одно из ее достоинств. Она используется при:
1. Геометрия земного эллипсоида
11
— обработке обширных геодезических сетей;
— решении задач, связанных с передачей координат на значительные рас-
стояния;
— изучении фигуры и размеров Земли;
— наблюдении искусственных спутников Земли;
— составлении географических и топографических карт, в частности система
геодезических координат положена в основу разграфки листов топографических
карт, рамками которых служат меридианы и параллели.
Практическое значение геодезических координат состоит в том, что они не-
значительно отличаются от астрономических координат
φ
и
λ,
определяемых
астрономическими методами независимо от геодезических измерений.
Вместе с тем, геодезические координаты относятся к математически пра-
вильной поверхности эллипсоида вращения. Их нельзя измерить, а можно толь-
ко вычислить. Геодезические широту и долготу следует отличать от астрономи-
ческих широты и долготы, которые относятся к уровенной поверхности и опре-
деляются непосредственно из измерений.
В дальнейшем при изучении вопросов сфероидической геодезии будут под-
разумеваться геодезические координаты.
Система прямоугольных сфероидических координат
Эта система координат на поверхности эллипсоида, т.е. координатные оси
располагаются на поверхности эллипсоида. В зависимости от положения осей
будем иметь различные системы координат, которые, оставаясь сфероидиче-
скими, будут иметь свои особенности. Рассмотрим одну из таких систем
(рис.1.6).
Примем точку A с известными геодезическими координатами (B,L) за начало
координат. Меридиан, проходящий через точку A примем за ось X. Для опреде-
ления положения точки M проведем
через нее нормальное сечение так,
чтобы оно пересекло меридиан точки
A под углом 90 .
Тогда положение точки M опреде-
ляется следующими координатами:
— сферической абсциссой
X рав-
ной длине дуги ∪AM0;
— сферической ординатой
Рис.1.6
Y рав-
ной длине дуги ∪MM0.
Данные координаты выражаются в
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
12
линейной мере, например, в километрах.
Система координат с приведенной широтой
Одной из координат в этой системе является геодезическая долгота L
Положение точки M в меридианном эллипсе, имеющем долготу L определя-
ется приведенной широтой u, которая получается из следующего вспомогатель-
ного построения (рис.1.7).
Опишем в плоскости меридиан-
ного эллипса PЕP1E1 из точки O как
из центра окружность радиусом OE,
равным большой полуоси a. Про-
должим ординату MM1 до пересече-
ния с построенной вспомогательной
окружностью. Пусть они пересекутся
в точке m. Соединим точку m с цен-
тром эллипса O; угол mOE1 и будет
приведенной широтой u точки M.
Приведенная широта u применя-
ется в ряде теоретических выводов.
Для вывода соотношения между
Рис.1.7
широтами B и u возьмем прямо-
угольную систему координат xOy в плоскости меридианного эллипса и запишем
уравнение эллипса в параметрической форме
x = a ⋅ cos u;
y = b ⋅ sin u .
(1.2)
Проведем касательную MK к эллипсу в точке M (рис.1.8). Отрезок Mn явля-
ется нормалью к поверхности эллипсоида (по определению геодезических ко-
ординат) и , следовательно, Mn ⊥ MK. Тогда ∠MKO=90°-B.
Известно, что тангенс угла, образуемого касательной к кривой в данной точ-
ке с положительным направлением оси абсцисс, есть первая производная
функции, описывающей кривую,
dy
. Следовательно,
dx
dy
= tg ( 90 + B ) = -ctgB .
dx
(1.3)
Дифференцируя выражение (1.2) и подставляя значение дифференциалов
dx = -a sin udu;
в формулу (1.3), получим
dy = b cos udu
1. Геометрия земного эллипсоида
13
b cos udu
= − ctgB ,
a sin udu
a
b
tgB = tgu или tgu = tgB
b
a
(1.4)
Рис.1.8
Ввиду того, что земной эллипсоид имеет малое полярное сжатие, широты
B
u незначительно различаются между собой. Максимальная разность
( B − u) ≈ 5,8′ при B=45°.
и
Координата x представляет собой радиус параллели. Поэтому на основании
формулы (1.2) можно записать формулу для вычисления радиуса параллели
r = x = OM 1 = a cos u
(1.5)
 
 
    Скачать с Depositfiles