Вычисление поправок в направления за кривизну изображения, Проектирование на плоскость длин линий (редукция расстояний)

    Скачать с Depositfiles 
 
 
 
 
 
4.10 Вычисление поправок в направления за кривизну изображения
геодезической линии на плоскости ( редукция направлений )
Как отмечалось ранее (см. подраздел 4.4), поправки в направления за кри-
визну изображения геодезической линии на плоскости обусловлены тем, что
изображение геодезической линии на плоскости в виде некоторой кривой заме-
няется хордой.
δ можно получить следующим обра-
зом. Пусть на эллипсоиде имеем две точки Q1 и Q2 (рис.4.8). Через эти точки
проведем геодезические линии Q1C и Q2D так, чтобы они пересекли осевой
Приближенное значение этих поправок
меридиан под углом 90°.
Рис.4.8
На плоскости геодезическая линия
ские координаты точек
углы в точках
Q1Q2 изображается кривой Q1aQ2 . Пло-
′ ′
Q1 и Q2 обозначим соответственно через x1,y1 и x2,y1, а
Q1 и Q2 между касательными к кривой и хордой Q1 Q2 — через δ12
′ ′
и δ21 .
В сфероидической трапеции Q1Q2CD сумма углов равна
∠Q1 + ∠Q2 + ∠C + ∠D = 360o + ε ,
(4.49)
где ε — сферический избыток.
Ввиду равноугольности проекции углы в трапеции на плоскости будут равны
углам на эллипсоиде
Ю.Н.Гавриленко — Основы сфероидической геодезии
86
∠Q1 + ∠Q2 + ∠C ′ + ∠D ′ = 360o + ε .
Понятно ,что
(4.50)
∠C ′ + ∠D ′ = 180o , и следовательно
∠Q1 + ∠Q2 = 180o + ε .
(4.51)
Из этой формулы сделаем два заключения :
1) в общем случае дуга Q1Q2 на плоскости не может изобразиться прямой
линией;
2) дуга на плоскости изображается некоторой кривой , которая выпуклостью
всегда обращена от осевого меридиана.
Равенство (4.51) можно переписать следующим образом
∠Q1 + ∠Q2 = 180o + δ12 + δ 21 ,
(4.52)
тогда
ε = δ12 + δ 21 .
Если обозначить через
ский избыток равен
P площадь сфероидической трапеции, то сфериче-
ε=
или
ε=
где
ym =
(4.53)
P
R2
ρ′′
ρ′′
( y + y ) ρ′′
( x2 − x1 ) 2 1 = 2 ( x2 − x1 ) ym ,
2
R2
R
(4.54)
y1 + y2
— средняя ордината линии.
2
На основании (4.53) и (4.54)
δ12 + δ 21 =
Полагая ,что
ρ′′
( x2 − x1 ) ym .
R2
δ12 = δ 21 , получим
δ12 = −δ 21 = −
ρ′′
R2
(x2 − x1 )y m
= − f ( x 2 − x1 ) y m ,
(4.55)
ρ′′
— вычисляется аналогично (3.14)
2R2
Максимальная ошибка вычисления δ по формуле (4.55) при S ≤ 10 км не бо-
где
f =
лее 0.03″. Поэтому данная формула может применяться при обработке триангу-
ляции 3 и 4 классов.
Для сетей 2 класса применяют более точные формулы
4. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера
8
f ( x1 − x2 )( 2 y1 + y2 ) 
(4.56
δ 21 = − f ( x1 − x2 )( 2 y2 + y1 )
Эти формулы обеспечивают вычисление поправок δ с точностью до 0.01″.
δ12 =
Для сетей 1 класса, особенно при вычислении в шестиградусных зонах, форму-
лы еще более сложные
δ12 =
( x2 − x1 ) ρ′′ y
2
2 Rm
+
ρ′′
3
Rm
m
y2 − y1  ρ′′ 3
 − 4 y m ( x2 − x1 ) +
6  6 Rm
.
(4.57)
2
y m ( y2 − y1 ) η2 tgBm
m
Поправки за кривизну изображения геодезической линии алгебраически при-
бавляют к измеренным направлениям.
Из формул (4.55)-(4.57) следует, что для определения редукций направле-
ний необходимо знать координаты пунктов. Их вычисляют с точностью до 0.1м в
триангуляции 1 класса и до 1м — в триангуляции 2 класса. Для триангуляции 3 и
4 классов приближенные координаты достаточно знать с точностью до десятков
метров, поэтому их можно определить графически по схеме сети.
Установим связь между сферическими избытками треугольников и поправ-
ками за кривизну изображения. Пусть имеем треугольник 123 (рис.4.9) Обозна-
чим:
β1 ,β 2 ,β3 -углы на поверхности эллипсои-
да;
β1 ,β ′ ,β ′ -углы между хордами на плоско-
′ 2 3
сти;
Рассматривая углы как разность двух на-
правлений и обозначая поправку в угол через
∆i можно записать
β1 = β1 + (δ12 − δ13 ) = β1 + ∆1 ,
β ′ = β 2 + (δ 21 − δ 23 ) = β 2 + ∆ 2 ,
2
Рис.4.9
β ′ = β 3 + (δ 32 − δ 31 ) = β 3 + ∆ 3 .
3
Суммируя почленно эти равенства, полу-
чим
β1 + β ′ + β3 = β1 + β 2 + β3 + ∑ ∆ .
Но β1 + β ′
+ β3 = 180o — сумма углов плоского треугольника,
β1 + β 2 + β3 = 180o + ε — сумма углов сферического треугольника, поэтому
(4.58)
∑ ∆ = −ε .
Формула (4.58) служит для контроля вычисления поправок редукций направ-
лений и углов.
4.11 Проектирование на плоскость длин линий (редукция расстояний)
Задача состоит в переходе от длины геодезической ли-
нии S на поверхности эллипсоида к длине хорды d
,проведенной через изображения конечных точек геодези-
ческой линии на плоскости проекции.
ab — изображение геодезической линии
на плоскости. Обозначим длину дуги через d’. Учитывая,
что масштаб изображения зависит от координаты y, и в
На рис.4.10 дуга
общем случае изменяется в каждой точке линии, то для
вычисления длины дуги d’ надо взять интеграл
S
Рис.4.10
d ′ = ∫ mds .
(4.59)
0
Согласно [2] максимальное расхождение в длине кривой d’ и хорды d
d′ − d
< 1:200 000 000 .
d′
Наиболее точное измерение длин в настоящее время производится со сред-
ней квадратической ошибкой 1:1000000 и поэтому во всех случаях можно при-
нять d’=d. Учитывая это, можно записать
S
d = ∫ mds ,
(4.60)
0
Масштаб изображения является весьма сложной функцией длины геодези-
ческой линии. Поэтому найти неопределенный интеграл (4.56) в замкнутой фор-
ме — очень трудная задача.
Однако при незначительном удалении от осевого меридиана и при неболь-
шой длине линии масштаб вдоль такой линии изменяется весьма медленно и
4. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера
89
поэтому нахождение интеграла (4.60) может быть выполнено приближенными
методами, например по способу Симпсона.
Используя формулу параболы, можем записать
d=
где
S
( m1 + 4mm + m2 ) ,
6
(4.61)
m1 , mm , m2 — масштабы проекций соответственно в начальной, средней и
конечной точки геодезической линии.
Принимая
R1 = R2 = Rm запишем
y1
y1 
m1 = 1 + 2 +
4 
2 Rm 24 Rm 
ym
ym 
mm = 1 + 2 +
,
4
2 Rm 24 Rm 
y2
y2 
m2 = 1 + 2 +
.
4
2 Rm 24 Rm 
(4.62)
m1 , mm , m2 из (4.62) в формулу (4.61) и полагая, что
1
1
y1 = y m − ∆y ,
y2 = y m + ∆y ,
2
2
y1 + y2 = 2 y m + ∆y 2 ,
∆y = y2 − y1 ,
2
Подставляя значения
получим после преобразований
ym 
∆y 2
d = S 1 + 2 +
2 Rm 24 Rm 24 Rm 
(4.63)
Данную формулу применяют в триангуляции 1 класса. При вычислениях се-
тей 2 класса не учитывают последний член, который при длине линий до 20 км и
y=320 км составляет всего лишь 0.005м. В сетях низших классов достаточно
применять одну из следующих формул
2 (4.64)
 
  ym 
  ym  
    d = S 1 + 2  = S + 2 S = S + ∆S , 
          2 Rm 
           2 Rm  
2 (4.65)
∆S = 0123 y m S . 
  .