2011 год ИГГ, ДонНТУ;
Руководитель: Рубцова Ольга Алексадровна,
Старший преподаватель,
Кафедра высшей математики им. В.В.Пака, ДонНТУ
МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИМЕНЕНИИ ЧИСЛЕННЫХ НЕРАВЕНСТВ
Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши-Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.
Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши-Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение на примерах, взятых из программы вступительных экзаменов.
Неравенство Коши
где . Причем неравенство превращается в равенство тогда и, только тогда, когда
. В частности, если в (1) положить
, то
Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных задач по математике. Если в (2) положить и
, где
, то
Здесь неравенство равносильно равенству лишь при .
Следует отметить, что имеется аналог неравенства (3) для отрицательных значений , а именно, если
, то
Данное неравенство превращается в равенство при .
Неравенство Бернулли
Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если , то для любого натурального
имеет место
Причем равенство в (5) достигается при или
.
Наряду с (5) существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:
если или
, то
если , то
где .
Следует отметить, что равенства в (6) и (7) имеют место только при . Верно также и обратное утверждение.
Неравенство Коши-Буняковского
Для произвольных и
имеет место
где .
Причем равенство в (8) достигается в том и, только в том случае, когда числа . и
пропорциональны, т.е. существует константа
такая, что для всех
выполняется равенство
.
На основе использования неравенства Коши-Буняковского (8) можно доказать неравенство
которое справедливо для произвольных ,
и натурального числа
.
Задачи и решения
Пример 1. Доказать неравенство
где .
Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства с использованием неравенства (7), т.е.
Так как по условию , то равенства в неравенстве Бернулли не будет, поэтому доказано строгое неравенство.
Пример 2. Доказать, если , то
Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли (6), а затем неравенством Коши (2), тогда
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Используя неравенство Коши (2), можно записать
т.е. имеет место неравенство
Из зданного уравнения следует, что приведенные выше неравенства Коши обращаются в равенства. А это возможно лишь в том случае, когда и
.
Следовательно, имеем и
.
Ответ: ,
;
,
;
,
;
,
.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Применим к левой части уравнения неравенство Бернулли (7), а к правой части — неравенство (6), тогда
и
Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения, обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда .
Ответ: .
Литература:
1. А.И.Назаров «Задачи-ловушки», Мн., «Аверсэв»,2006
2.С.А. Барвенов «Математика для старшеклассников», «Аверсэв»,2004
3. С.А. Барвенов «Методы решения алгеброическиж уравнений», «Аверсэв»,2006
4. http://www.refsru.com/referat-655-4.html