Сайт для студентов геодезистов

 2011 год ИГГ, ДонНТУ;

Руководитель: Рубцова Ольга Алексадровна,

Старший преподаватель,

Кафедра высшей математики им. В.В.Пака, ДонНТУ

МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИМЕНЕНИИ ЧИСЛЕННЫХ НЕРАВЕНСТВ

Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши-Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.

Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши-Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение на примерах, взятых из программы вступительных экзаменов.

Неравенство Коши

Пусть , ,..., , тогда  (1)

где . Причем неравенство превращается в равенство тогда и, только тогда, когда . В частности, если в (1) положить , то

 (2)

Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных задач по математике. Если в (2) положить  и , где , то

 (3)

Здесь неравенство равносильно равенству лишь при .

Следует отметить, что имеется аналог неравенства (3) для отрицательных значений , а именно, если , то

 (4)

Данное неравенство превращается в равенство при .

Неравенство Бернулли

Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если , то для любого натурального  имеет место

 (5)

Причем равенство в (5) достигается при  или .

Наряду с (5) существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:

 если  или , то

 (6)

если , то

 (7)

где .

Следует отметить, что равенства в (6) и (7) имеют место только при . Верно также и обратное утверждение.

Неравенство Коши-Буняковского

Для произвольных  и  имеет место

 (8)

где .

Причем равенство в (8) достигается в том и, только в том случае, когда числа . и  пропорциональны, т.е. существует константа  такая, что для всех  выполняется равенство .

На основе использования неравенства Коши-Буняковского (8) можно доказать неравенство

 (9)

которое справедливо для произвольных ,  и натурального числа .

Задачи и решения

Пример 1. Доказать неравенство

где .

Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства с использованием неравенства (7), т.е.

Так как по условию , то равенства в неравенстве Бернулли не будет, поэтому доказано строгое неравенство.

Пример 2. Доказать, если , то

Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли (6), а затем неравенством Коши (2), тогда

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Используя неравенство Коши (2), можно записать

т.е. имеет место неравенство

Из зданного уравнения следует, что приведенные выше неравенства Коши обращаются в равенства. А это возможно лишь в том случае, когда  и .

Следовательно, имеем  и .

Ответ: , ; , ; , ; , .

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Применим к левой части уравнения неравенство Бернулли (7), а к правой части - неравенство (6), тогда

и

Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения, обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда .

Ответ: .

Литература:

1. А.И.Назаров «Задачи-ловушки», Мн., «Аверсэв»,2006

2.С.А. Барвенов «Математика для старшеклассников», «Аверсэв»,2004

3. С.А. Барвенов «Методы решения алгеброическиж уравнений», «Аверсэв»,2006

4. http://www.refsru.com/referat-655-4.html