Лекции функции нескольких переменных

    Скачать с Depositfiles 

 

Лекции 1-4

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Контрольные вопросы.

  1. Частное и полное приращение функции нескольких переменных (ФНП).

  2. Предел функции нескольких переменных. Свойства пределов ФНП.

  3. Непрерывность ФНП. Свойства непрерывных функций.

  4. Частные производные первого порядка. 

Определение: если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных  соответствует определенное значение переменной w, то будем называть wфункцией независимых переменных :

(1)

Определение: областью определения D(fфункции (1) называется совокупность таких наборов чисел , при которых определена функция (1).

Область D(f) может быть открытой или замкнутой. Например для функции:

D(f) будут все точки пространства, для которых выполняется неравенство  (замкнутый шар), а для функции (открытый шар).

В дальнейшем мы будем рассматривать в основном функции двух переменных, т.к. во-первых, принципиального различия между двумя и большим числом переменных нет, увеличение числа переменных ведет лишь к громоздкости выкладок. Во-вторых, случай двух переменных допускает наглядную геометрическую интерпретацию.

Геометрическим изображением функции двух переменных  является некоторая поверхность, которая может быть задана явно или неявно. Например: a — явное задание (параболоид вращения), б)  — неявное задание (сфера).

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

Пример. Построить график функции 
Воспользуемся методом сечений.

– в плоскости – парабола.

 – в плоскости –парабола.

 – в плоскости – окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием между двумя произвольными точками  и  (евклидова) пространства  называется число

.

Множество точек  называется открытым кругом радиуса  с центром в точке  – окружностью радиуса  с центром в точке .

Открытый круг радиуса  с центром в точке  называется -окрестностью точки .

О
пределение
. Точка  называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность  точки , целиком принадлежащая множеству  (т.е.).

Определение. Точка  называется граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему.


Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.

Определение. Множество  называется открытым, если все его точки – внутренние.

Определение. Множество  называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества  называется егограницей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество  является замкнутым и называется замыканием множества .

Пример. Если , то . При этом .

Частное и полное приращение функции.

Если одна независимая переменная (например, х) получает приращение х, а другая переменная не меняется, то функция получает приращение:

,

которое называется частным приращением функции  по аргументу х.

Если же все переменные получают приращения, то функция получает полное приращение:

Например, для функции  будем иметь:

;

.

Предел функции нескольких переменных.

Определение. Будем говорить, что последовательность точек  сходится при  к точке , если  при .

В этом случае точку  называют пределом указанной последовательности и пишут:  при .

Легко показать, что  тогда и только тогда, когда одновременно  (т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна покоординатной сходимости).

Определение. Число  называют пределом функции  при , если для   такое, что , как только.

В этом случае пишут  или  при .

При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точке  на плоскости  может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

Пример. Найти .

Пусть стремление к предельной точке  происходит по прямой . Тогда .

Предел, очевидно, не существует, так как число  зависит от .

Свойства пределов ФНП:

Если существуют  и , то:

1) ;

2) ;

3) ,

где предельная точка  может быть конечной или бесконечной.

Непрерывность функции нескольких переменных

Определение. Говорят, что функция  непрерывна в точке , если

, т.е. .

Говорят, что функция  непрерывна в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Свойства непрерывных функцийЕсли функции  и  непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции , а если, то и функция .

Частные производные первого порядка.

Пусть функция  определена в области  и . Тогда при малых  определено ее частное приращение по .

ОпределениеЧастной производной функции  по переменной  в точке  называют предел

,

если он существует.

Частную производную по  обозначают одним из следующих символов:

.

Аналогично определяется частная производная по  и вводятся ее обозначения.

Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

Пример. Найти частные производные функции .

Имеем: