Полное приращение функции и полный дифференциал.
Пусть функция определена и имеет непрерывные частные производные в области
. Можно показать, что в точках этой области при малых приращениях
и
выражение для её полного приращения
может быть представлено в виде:
,
где стремятся к нулю при
. Тогда при
главная линейная часть приращения:
называется полным дифференциалом функции. Вводя для малых приращений обозначения
, запишем выражение для полного дифференциала:
.
Формула может быть использована для приближенных вычислений.
Производная сложной функции.
Пусть аргументы функции в свою очередь являются функциями двух других переменных:
,
. Можно показать, что в этом случае имеют место формулы:
,
.
Пример. Найти и
, если
,
,
.
Имеем: .
В эти выражения следует подставить ,
:
Пусть аргументы функции являются функциями одной переменной:
,
. Можно показать, что в этом случае справедлива формула полной производной:
.
Пример. Найти , если
,
,
.
Имеем .
Производные неявной функции.
Пусть функция задана неявно: . Требуется найти
и
.
Продифференцируем обе части этого равенства по независимым переменным х и у, считая, что :
;
.
Разрешим эти уравнения относительно и
:
;
Частные производные высших порядков.
Рассматривая частные производные и
как функции от
, приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения
,
называют частными производными второго порядка функции по
и по
соответственно, а выражения
,
– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами:
,
,
и
. Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д.
Можно показать, что если в некоторой окрестности точки функция
имеет смешанные частные производные
и
, причем эти производные непрерывны в точке
, то они равны в этой точке:
=
.
Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции не зависят от порядка дифференцирования в точке
.
Это свойство по индукции можно распространить на непрерывные смешанные частные производные любого порядка.
Линии уровня.
Определение: геометрическое место точек поверхности , имеющих одну и ту же аппликату z, называют линией уровня этой поверхности.
Например для параболоида линиями уровня будут окружности
.
Производная по направлению и градиент.
1. Случай явного задания функции .
Полное приращение функции при переходе от точки к точке
выражается формулой:
,
где стремятся к нулю при
, т.е. при
. Если при этом перемещение от точки
к точке
происходит по прямой РR, составляющей постоянный угол с осью Ох, то
и перемещение происходит в постоянном направлении с единичным вектором
. Разделим обе части последнего равенства на
:
и перейдём к пределу при :
.
Полученную величину называют производной функции
в точке Р(х, у) в направлении вектора
и обозначают
или
, т.е.:
=
.
Определение. Вектор называют градиентом функции
в точке
.
Отсюда следует, что производная от функции в точке (х, у) в направлении с ортом
равна скалярному произведению вектора градиента на орт данного направления:
=
.
При этом наибольшее значение производной достигается по о направлению градиента. Найдем эту величину. Определим орт градиента: .
Тогда производная функции в некоторой точке М по направлению градиента равна модулю градиента в этой точке:
.
Пример. Найти производную функции в точке М(1; 1) в направлении: а) градиента; б) вектора
.
Решение. Найдём вектор градиента и его модуль. Имеем:
,
.
;
.
а) производная по направлению градиента: .
б) Найдём единичный вектор (орт) вектора :
.
Производная по направлению вектора :
Свойство градиента явной функции: В каждой точке вектор градиента функции
ортогонален (нормален) линии уровня, проходящей через эту точку, в сторону возрастания функции. Заметим, что в случае явного задания функции вектор градиента двумерный.
2. Случай неявного задания функции .
В этом случае вектор градиента будет трёхмерным и определяется так:
,
а производная в точке по направлению вектора с ортом
находится, как скалярное произведение градиента и орта:
=
=
Вектор градиента в точке поверхности
будет направлен по внешней нормали к этой поверхности, т.е. перпендикулярно касательной плоскости.
Замечание. Явное задание функции можно преобразовать в неявное:
, т.е. в этом случае
=
. Тогда трёхмерный вектор градиента будет иметь вид:
.