Полное приращение функции и полный дифференциал.
Пусть функция 
определена и имеет непрерывные частные производные в области 
. Можно показать, что в точках этой области при малых приращениях
и 
выражение для её полного приращения
может быть представлено в виде:
,
где 
стремятся к нулю при 
. Тогда при главная линейная часть приращения: 
называется полным дифференциалом функции. Вводя для малых приращений обозначения 
, запишем выражение для полного дифференциала:
.
Формула 
может быть использована для приближенных вычислений.
Производная сложной функции.
Пусть аргументы функции 
в свою очередь являются функциями двух других переменных: 
, 
. Можно показать, что в этом случае имеют место формулы:
, 
.
Пример. Найти 
и 
, если 
, 
, 
.
Имеем: 
.
В эти выражения следует подставить 
, 
:
Пусть аргументы функции являются функциями одной переменной: 
, 
. Можно показать, что в этом случае справедлива формула полной производной:
.
Пример. Найти 
, если 
, 
, 
.
Имеем 
.
Производные неявной функции.
Пусть функция задана неявно: 
. Требуется найти 
и 
.
Продифференцируем обе части этого равенства по независимым переменным х и у, считая, что 
:
; 
.
Разрешим эти уравнения относительно и :
; 
Частные производные высших порядков.
Рассматривая частные производные 
и 
как функции от 
, приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения
, 
называют частными производными второго порядка функции 
по 
и по 
соответственно, а выражения
, 
– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: 
, 
, 
и 
. Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д.
Можно показать, что если в некоторой окрестности точки 
функция имеет смешанные частные производные 
и 
, причем эти производные непрерывны в точке 
, то они равны в этой точке:
=
.
Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции не зависят от порядка дифференцирования в точке .
Это свойство по индукции можно распространить на непрерывные смешанные частные производные любого порядка.
Линии уровня.
Определение: геометрическое место точек поверхности , имеющих одну и ту же аппликату z, называют линией уровня этой поверхности.
Например для параболоида 
линиями уровня будут окружности 
.
Производная по направлению и градиент.
1. Случай явного задания функции .
Полное приращение функции при переходе от точки 
к точке 
выражается формулой:
,
где стремятся к нулю при , т.е. при 
. Если при этом перемещение от точки к точке происходит по прямой РR, составляющей постоянный угол с осью Ох, то 
и перемещение происходит в постоянном направлении с единичным вектором 
. Разделим обе части последнего равенства на 
:
и перейдём к пределу при 
:
.
Полученную величину 
называют производной функции в точке Р(х, у) в направлении вектора и обозначают 
или 
, т.е.:
=.
Определение. Вектор 
называют градиентом функции в точке 
.
Отсюда следует, что производная от функции в точке (х, у) в направлении с ортом равна скалярному произведению вектора градиента на орт данного направления: =
.
При этом наибольшее значение производной достигается по о направлению градиента. Найдем эту величину. Определим орт градиента: 
.
Тогда производная функции в некоторой точке М по направлению градиента равна модулю градиента в этой точке:
.
Пример. Найти производную функции 
в точке М(1; 1) в направлении: а) градиента; б) вектора 
.
Решение. Найдём вектор градиента и его модуль. Имеем:
, 
.
; 
.
а) производная по направлению градиента: 
.
б) Найдём единичный вектор (орт) вектора :
.
Производная по направлению вектора 
:
Свойство градиента явной функции: В каждой точке вектор градиента функции ортогонален (нормален) линии уровня, проходящей через эту точку, в сторону возрастания функции. Заметим, что в случае явного задания функции вектор градиента двумерный.
2. Случай неявного задания функции .
В этом случае вектор градиента будет трёхмерным и определяется так:
,
а производная в точке 
по направлению вектора с ортом 
находится, как скалярное произведение градиента и орта:
=
=
Вектор градиента в точке поверхности будет направлен по внешней нормали к этой поверхности, т.е. перпендикулярно касательной плоскости.
Замечание. Явное задание функции можно преобразовать в неявное: 
, т.е. в этом случае 
=
. Тогда трёхмерный вектор градиента будет иметь вид: 
.