Лекции функции нескольких переменных 2

    Скачать с Depositfiles 

 

 

 

Полное приращение функции и полный дифференциал.

Пусть функция  определена и имеет непрерывные частные производные в области . Можно показать, что в точках этой области при малых приращениях и  выражение для её полного приращения

может быть представлено в виде:

,

где  стремятся к нулю при . Тогда при  главная линейная часть приращения:  называется полным дифференциалом функции. Вводя для малых приращений обозначения , запишем выражение для полного дифференциала:

.

Формула  может быть использована для приближенных вычислений.

Производная сложной функции.

Пусть аргументы функции  в свою очередь являются функциями двух других переменных: . Можно показать, что в этом случае имеют место формулы:

.

Пример. Найти  и , если .

Имеем: .

В эти выражения следует подставить :

Пусть аргументы функции  являются функциями одной переменной: . Можно показать, что в этом случае справедлива формула полной производной:

.

Пример. Найти , если .

Имеем .

Производные неявной функции.

Пусть функция задана неявно: . Требуется найти  и .

Продифференцируем обе части этого равенства по независимым переменным х и у, считая, что :

.

Разрешим эти уравнения относительно  и :

Частные производные высших порядков.

Рассматривая частные производные  и  как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения

называют частными производными второго порядка функции  по  и по  соответственно, а выражения

– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами:  и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=2), 4-го порядка (их будет 16=2) и т.д.

Можно показать, что если в некоторой окрестности точки  функция  имеет смешанные частные производные  и , причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке:

=.

Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции  не зависят от порядка дифференцирования в точке .

Это свойство по индукции можно распространить на непрерывные смешанные частные производные любого порядка.

Линии уровня.

Определение: геометрическое место точек поверхности , имеющих одну и ту же аппликату z, называют линией уровня этой поверхности.

Например для параболоида  линиями уровня будут окружности .

Производная по направлению и градиент.

1. Случай явного задания функции .

Полное приращение функции при переходе от точки  к точке  выражается формулой:

,

где  стремятся к нулю при , т.е. при . Если при этом перемещение от точки  к точке происходит по прямой РR, составляющей постоянный угол  с осью Ох, то  и перемещение происходит в постоянном направлении с единичным вектором . Разделим обе части последнего равенства на :

и перейдём к пределу при :

.

Полученную величину  называют производной функции  в точке Р(х, у) в направлении вектора  и обозначают  или , т.е.:

=.

Определение. Вектор  называют градиентом функции  в точке .

Отсюда следует, что производная от функции  в точке (х, у) в направлении с ортом  равна скалярному произведению вектора градиента на орт данного направления: =.

При этом наибольшее значение производной достигается по о направлению градиента. Найдем эту величину. Определим орт градиента: .

Тогда производная функции в некоторой точке М по направлению градиента равна модулю градиента в этой точке:

.

Пример. Найти производную функции  в точке М(1; 1) в направлении: а) градиента; б) вектора .

Решение. Найдём вектор градиента и его модуль. Имеем:

.

.

а) производная по направлению градиента: .

б) Найдём единичный вектор (орт) вектора :

.

Производная по направлению вектора :

Свойство градиента явной функции: В каждой точке  вектор градиента функции  ортогонален (нормален) линии уровня, проходящей через эту точку, в сторону возрастания функции. Заметим, что в случае явного задания функции вектор градиента двумерный.

2. Случай неявного задания функции .

В этом случае вектор градиента будет трёхмерным и определяется так:

,

а производная в точке  по направлению вектора с ортом  находится, как скалярное произведение градиента и орта:

==

Вектор градиента в точке  поверхности  будет направлен по внешней нормали к этой поверхности, т.е. перпендикулярно касательной плоскости.

Замечание. Явное задание функции  можно преобразовать в неявное: , т.е. в этом случае =. Тогда трёхмерный вектор градиента будет иметь вид: .

 

    Скачать с Depositfiles