Уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности.
Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(xo,yo,zo), перпендикулярно заданному вектору (нормали) 
, имеет вид:
(1)
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через заданную точку М0, параллельно заданному вектору (направляющему вектору) 
, было получено в виде:
(2)
В качестве вектора нормали примем вектор градиента в точке М0. Этот же вектор возьмем в качестве направляющего вектора для нормали (нормальной прямой).
Тогда для неявного задания поверхности 
вектором нормали будет 
,
уравнение касательной плоскости в точке М0:
, (3)
и уравнение нормали:
. (4)
Для явного задания поверхности 
вектором нормали будет 
, уравнение касательной плоскости в точке М0:
, (5)
и уравнение нормали:
. (6)
Пример. Составить уравнение касательной плоскости к параболоиду 
в точке 
и уравнение нормали к параболоиду в этой точке.
Пусть 
– точка на плоскости 
. Так как 
, 
, то 
, 
. Следовательно, вектором нормали к параболоиду в точке 
. будет вектор 
. Учитывая также, что 
, получаем искомое уравнение касательной плоскости (5):
, или 
.
Уравнение нормали (нормальной прямой) (6) в данном случае имеет вид:
.
Экстремум функции двух переменных.
Определение. Говорят, что функция 
имеет в точке 
локальный максимум (минимум), если существует 
-окрестность этой точки такая, что для каждой точки 
из этой окрестности выполняется неравенство
(
).
Если здесь знак равенства исключен (кроме случая 
), то говорят о строгом локальном максимуме (минимуме). Если функция имеет в данной точке локальный максимум или минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум).
Теорема 1: (необходимое условие экстремума)
Если функция достигает экстремума в точке Mo(хo,уo), то обе частные производные первого порядка от этой функции в точке Mo равны нулю или не существуют.
Доказательство: Зафиксируем одну переменную у=у0, тогда функция 
становится функцией одной переменной х. Известно, что в точке экстремума производная функции одной переменной (в данном случае 
) равна нулю или не существует. Аналогично можно показать, что равна нулю или не существует производная 
.
Точки в которых все частные производные функции равны нулю или не существуют, называются- критическими.
Теорема 2: (достаточное условие экстремума)
Пусть в окрестности критической точки Mo(хo,уo) функция имеет непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядка. Введём обозначения: 
, 
.
Тогда в точке Mo, функция:
1) Имеет максимум, если 
,
2) Имеет минимум, если 
,
3) Не имеет экстремума, если 
,
Если же 
, экстремум может быть или не быть, требуются дополнительные исследования.
Пример. Исследовать на экстремум функцию 
.
Решение.
1) Найдём критические точки:
Вторые частные производные:
; 
; 
.
2) исследуем критические точки:
а) М1(0, 0): 
, 
; 
,
экстремума нет.
б) М2(1, 1): 
, 
; ,
минимум.
.
Пример. Найти экстремумы функции 
.
1)Найдём критические точки:
Одна критическая точка.
; 
; 
.
минимум.
.
Пример
Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных в замкнутой области.
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции в замкнутой области 
(
и 
)следует:
1) Найти критические точки функции внутри области 
и значения функции в этих точках.
2) Найти наименьшее и наибольшее значения функции на границе Г области .
3) Выбрать среди найденных в пунктах 1) и 2) значений наибольшее и наименьшее.
П
ример. Найти наименьшего и наибольшего значений функции 
в замкнутом треугольнике , ограниченном линиями: 
.
1) Найдём критические точки внутри области D (учитывая, что там 
) и значения функции в этих точках:
.
2) На границах:
а) на границе 
имеем 
Подставим это выражение в функцию: 
— на этой границе функция имеет один аргумент. Находим для этой функции наименьшее и наибольшее значение на отрезке 
. Критические точки этой функции: 
. Значения функции в этих точках и на границах отрезка : 
.
б) На границе у=0 имеем 
.
в) На границе х=0 имеем 
.
3) Среди найденных в пунктах 1) и 2) значений функции: z(2, 1)=4; , ; выбираем наименьшее и наибольшее:
)
Нахождение условного экстремума методом Лагранжа.
Определение: Экстремум функции , при выполнении некоторого условия 
, называется условным экстремумом.
Если условие задано явно, например, 
, то соответствующий условный экстремум можно находить как безусловный экстремум для функции одной переменной 
.
Алгоритм метода Лагранжа позволяет находить условный экстремум при неявном задании условия и заключается в следующем:
1) Запишем функцию Лагранжа 
.
2) Найдем критические точки 
(k – номер критической точки) для функции 
из необходимого условия экстремума функции трех переменных:
.
3) Для каждой критической точки вычисляем определитель: 
, тогда
а) Если 
, то 
-точка максимума, 
;
б) Если 
, то — точка минимума, 
.
Пример. Найти экстремумы функции 
при условии 
.
1) Запишем функцию Лагранжа 
.
2) Найдем критические точки:
Отсюда получаем четыре критических точки:
.
3) Найдём частные производные: 
.
Найдём выражение для определителя в произвольной точке:
.
Найдём определители для четырёх критических точек:
– максимум, 
.
– минимум, 
.
– минимум, 
.
– максимум, 
.