Уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности.
Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(xo,yo,zo), перпендикулярно заданному вектору (нормали) , имеет вид:
(1)
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через заданную точку М0, параллельно заданному вектору (направляющему вектору) , было получено в виде:
(2)
В качестве вектора нормали примем вектор градиента в точке М0. Этот же вектор возьмем в качестве направляющего вектора для нормали (нормальной прямой).
Тогда для неявного задания поверхности вектором нормали будет
,
уравнение касательной плоскости в точке М0:
, (3)
и уравнение нормали:
. (4)
Для явного задания поверхности вектором нормали будет
, уравнение касательной плоскости в точке М0:
, (5)
и уравнение нормали:
. (6)
Пример. Составить уравнение касательной плоскости к параболоиду в точке
и уравнение нормали к параболоиду в этой точке.
Пусть – точка на плоскости
. Так как
,
, то
,
. Следовательно, вектором нормали к параболоиду в точке
. будет вектор
. Учитывая также, что
, получаем искомое уравнение касательной плоскости (5):
, или
.
Уравнение нормали (нормальной прямой) (6) в данном случае имеет вид:
.
Экстремум функции двух переменных.
Определение. Говорят, что функция имеет в точке
локальный максимум (минимум), если существует
-окрестность этой точки такая, что для каждой точки
из этой окрестности выполняется неравенство
(
).
Если здесь знак равенства исключен (кроме случая ), то говорят о строгом локальном максимуме (минимуме). Если функция имеет в данной точке локальный максимум или минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум).
Теорема 1: (необходимое условие экстремума)
Если функция достигает экстремума в точке Mo(хo,уo), то обе частные производные первого порядка от этой функции в точке Mo равны нулю или не существуют.
Доказательство: Зафиксируем одну переменную у=у0, тогда функция становится функцией одной переменной х. Известно, что в точке экстремума производная функции одной переменной (в данном случае
) равна нулю или не существует. Аналогично можно показать, что равна нулю или не существует производная
.
Точки в которых все частные производные функции равны нулю или не существуют, называются- критическими.
Теорема 2: (достаточное условие экстремума)
Пусть в окрестности критической точки Mo(хo,уo) функция имеет непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядка. Введём обозначения:
,
.
Тогда в точке Mo, функция:
1) Имеет максимум, если ,
2) Имеет минимум, если ,
3) Не имеет экстремума, если ,
Если же , экстремум может быть или не быть, требуются дополнительные исследования.
Пример. Исследовать на экстремум функцию .
Решение.
1) Найдём критические точки:
Вторые частные производные:
;
;
.
2) исследуем критические точки:
а) М1(0, 0): ,
;
,
экстремума нет.
б) М2(1, 1): ,
;
,
минимум.
.
Пример. Найти экстремумы функции .
1)Найдём критические точки:
Одна критическая точка.
;
;
.
минимум.
.
Пример
Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных в замкнутой области.
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции в замкнутой области
(
и
)следует:
1) Найти критические точки функции внутри области и значения функции в этих точках.
2) Найти наименьшее и наибольшее значения функции на границе Г области .
3) Выбрать среди найденных в пунктах 1) и 2) значений наибольшее и наименьшее.
П
ример. Найти наименьшего и наибольшего значений функции
в замкнутом треугольнике
, ограниченном линиями:
.
1) Найдём критические точки внутри области D (учитывая, что там ) и значения функции в этих точках:
.
2) На границах:
а) на границе имеем
Подставим это выражение в функцию:
— на этой границе функция имеет один аргумент. Находим для этой функции наименьшее и наибольшее значение на отрезке
. Критические точки этой функции:
. Значения функции в этих точках и на границах отрезка
:
.
б) На границе у=0 имеем .
в) На границе х=0 имеем .
3) Среди найденных в пунктах 1) и 2) значений функции: z(2, 1)=4; ,
;
выбираем наименьшее и наибольшее:
)
Нахождение условного экстремума методом Лагранжа.
Определение: Экстремум функции , при выполнении некоторого условия
, называется условным экстремумом.
Если условие задано явно, например, , то соответствующий условный экстремум можно находить как безусловный экстремум для функции одной переменной
.
Алгоритм метода Лагранжа позволяет находить условный экстремум при неявном задании условия и заключается в следующем:
1) Запишем функцию Лагранжа .
2) Найдем критические точки (k – номер критической точки) для функции
из необходимого условия экстремума функции трех переменных:
.
3) Для каждой критической точки вычисляем определитель: , тогда
а) Если , то
-точка максимума,
;
б) Если , то
— точка минимума,
.
Пример. Найти экстремумы функции при условии
.
1) Запишем функцию Лагранжа .
2) Найдем критические точки:
Отсюда получаем четыре критических точки:
.
3) Найдём частные производные: .
Найдём выражение для определителя в произвольной точке:
.
Найдём определители для четырёх критических точек:
– максимум,
.
– минимум,
.
– минимум,
.
– максимум,
.