Лекции функции нескольких переменных 3

    Скачать с Depositfiles 

 

 

 

 

Уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности.

Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(xo,yo,zo), перпендикулярно заданному вектору (нормали) , имеет вид:

(1)

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через заданную точку М0, параллельно заданному вектору (направляющему вектору) , было получено в виде:

(2)

В качестве вектора нормали примем вектор градиента в точке М0. Этот же вектор возьмем в качестве направляющего вектора для нормали (нормальной прямой).

Тогда для неявного задания поверхности  вектором нормали будет ,

уравнение касательной плоскости в точке М0:

, (3)

и уравнение нормали:

. (4)

Для явного задания поверхности  вектором нормали будет , уравнение касательной плоскости в точке М0:

, (5)

и уравнение нормали:

. (6)

Пример. Составить уравнение касательной плоскости к параболоиду  в точке  и уравнение нормали к параболоиду в этой точке.

Пусть  – точка на плоскости . Так как , то . Следовательно, вектором нормали к параболоиду в точке . будет вектор . Учитывая также, что , получаем искомое уравнение касательной плоскости (5):

, или .

Уравнение нормали (нормальной прямой) (6) в данном случае имеет вид:

.

Экстремум функции двух переменных.

Определение. Говорят, что функция  имеет в точке  локальный максимум (минимум), если существует -окрестность этой точки такая, что для каждой точки  из этой окрестности выполняется неравенство

 ().

Если здесь знак равенства исключен (кроме случая ), то говорят о строгом локальном максимуме (минимуме). Если функция имеет в данной точке локальный максимум или минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум).

Теорема 1: (необходимое условие экстремума)

Если функция  достигает экстремума в точке Mo(хo,уo), то обе частные производные первого порядка от этой функции в точке Mo равны нулю или не существуют.

Доказательство: Зафиксируем одну переменную у=у0, тогда функция  становится функцией одной переменной х. Известно, что в точке экстремума производная функции одной переменной (в данном случае ) равна нулю или не существует. Аналогично можно показать, что равна нулю или не существует производная .

Точки в которых все частные производные функции равны нулю или не существуют, называются- критическими.

Теорема 2: (достаточное условие экстремума)

Пусть в окрестности критической точки Mo(хo,уo) функция  имеет непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядка. Введём обозначения:  .

Тогда в точке Mo, функция:

1) Имеет максимум, если ,

2) Имеет минимум, если ,

3) Не имеет экстремума, если ,

Если же , экстремум может быть или не быть, требуются дополнительные исследования.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

1) Найдём критические точки:

Вторые частные производные:

.

2) исследуем критические точки:

а) М1(0, 0): ,

экстремума нет.

б) М2(1, 1): ,

минимум.

.

Пример. Найти экстремумы функции .

1)Найдём критические точки:

Одна критическая точка.

.

  минимум.

.

Пример

Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции  в замкнутой области  ( и )следует:

1) Найти критические точки функции внутри области  и значения функции в этих точках.

2) Найти наименьшее и наибольшее значения функции на границе Г области .

3) Выбрать среди найденных в пунктах 1) и 2) значений наибольшее и наименьшее.

П
ример.
 Найти наименьшего и наибольшего значений функции  в замкнутом треугольнике , ограниченном линиями: .

1) Найдём критические точки внутри области D (учитывая, что там ) и значения функции в этих точках:

.

2) На границах:

а) на границе  имеем  Подставим это выражение в функцию:  — на этой границе функция имеет один аргумент. Находим для этой функции наименьшее и наибольшее значение на отрезке . Критические точки этой функции: 

. Значения функции в этих точках и на границах отрезка .

б) На границе у=0 имеем .

в) На границе х=0 имеем .

3) Среди найденных в пунктах 1) и 2) значений функции: z(2, 1)=4;  выбираем наименьшее и наибольшее:

 )

Нахождение условного экстремума методом Лагранжа.

Определение: Экстремум функции , при выполнении некоторого условия , называется условным экстремумом.

Если условие задано явно, например, , то соответствующий условный экстремум можно находить как безусловный экстремум для функции одной переменной .

Алгоритм метода Лагранжа позволяет находить условный экстремум при неявном задании условия  и заключается в следующем:

1) Запишем функцию Лагранжа .

2) Найдем критические точки  (k – номер критической точки) для функции  из необходимого условия экстремума функции трех переменных: .

3) Для каждой критической точки вычисляем определитель: , тогда

а) Если , то  -точка максимума, ;

б) Если , то  — точка минимума, .

Пример. Найти экстремумы функции  при условии .

1) Запишем функцию Лагранжа .

2) Найдем критические точки:

  

Отсюда получаем четыре критических точки:

.

3) Найдём частные производные: .

Найдём выражение для определителя в произвольной точке:

.

Найдём определители для четырёх критических точек:

 – максимум, .

 – минимум, .

 – минимум, .

 – максимум, .

 

    Скачать с Depositfiles