Лекции кратные интегралы, двойной интеграл

    Скачать с Depositfiles 

 

Лекции 5-6

Тема2. Кратные интегралы.

Двойной интеграл.

Контрольные вопросы.

1. Двойной интеграл, его геометрический и физический смысл

2. Свойства двойного интеграла.

3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

4. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

 

Замечание. Ниже будем считать все рассматриваемые кривые кусочно-гладкими. Диаметром замкнутой ограниченной области будем называть наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области


Пусть функция z f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости. Разобьём область D произвольным образом на nэлементарных замкнутых областей 1, … ,n, имеющих площади 1, …, n и диаметры d, …, dnсоответственно. Обозначим наибольший из диаметров областей 1, … ,n . В каждой области k выберем произвольную точку P(xk ,yk) и составим интегральную сумму функции f(x,y)

S =  (1)

Определение. Двойным интегралом функции f(x,y) по области D называется предел интегральной суммы

, (2)

если он существует.

Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области D и выбора точек Pk (k=1, …, n). Однако, предел , если он существует, не зависит от способа разбиения области D и выбора точек Pk .

Достаточное условие существования двойного интеграла. Двойной интеграл (1) существует, если функция f(x,y) непрерывна в за исключением конечного числа кусочно-гладких кривых и ограничена в D. В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые двойные интегралы существуют.


Геометрический смысл двойного интеграла.

Если f(x,y) ≥0 в области D, то двойной интеграл (1) равен объему «цилиндрического” тела, изображенного на рисунке:

V = (3)

Цилиндрическое тело ограничено снизу областью D, сверху  частью поверхности z=f(x,y), с боков  вертикальными отрезками прямых, соединяющих границы этой поверхности и области D.


Физический смысл двойного интеграла. Масса плоской пластины.

Пусть задана плоская пластина D с известной функцией плотности γ(х,у), тогда разбивая пластину D на части Di и выбирая произвольные точки , получим для массы пластины , или, сравнивая с формулой (2):


(4)


4. Некоторые свойства двойного интеграла.

  1. Линейность. Если С – числовая константа, то

,

  1. Аддитивность. Если область «разбита на области D1 и D2, то

.

3) Площадь ограниченной области равна

 (5)


Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Пусть задана область

Рисунок 1


D = {(xy): a ≤ x ≤ bφ1(x) ≤ y≤ φ2(x)(6)

 


Область D заключена в полосе между прямыми abснизу и сверху ограничена соответственно кривыми φ1(xи φ2(x) .

Двойной интеграл (1) по области D (4) вычисляется переходом к повторному интегралу:

 (7)

Этот повторный интеграл вычисляется следующим образом. Сначала вычисляется внутренний интеграл

по переменной y, при этом считается постоянной. В результате получится функция от переменной x, а затем вычисляется «внешний” интеграл от этой функции по переменной x.

Замечание. Процесс перехода к повторному интегралу по формуле (7) часто называют расстановкой пределов интегрирования в двойном интеграле. При расстановке пределов интегрирования нужно помнить два момента. Во-первых, нижний предел интегрирования не должен превышать верхнего, во-вторых, пределы внешнего интеграла должны быть константами, а внутреннего должны в общем случае зависеть от переменной интегрирования внешнего интеграла.

Пусть теперь область имеет вид

D = { (xy) : c ≤ y ≤ dψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) . (8)

Тогда

. (9)

Предположим, что область можно представить в виде (6) и (8) одновременно. Тогда имеет место равенство

(10)

Переход од одного повторного интеграла к другому в равенстве (10) называется изменением порядка интегрирования в двойном интеграле.



 

Примеры.

1) Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение. По виду повторного интеграла находим область

D = {(xy): 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y≤ 2.

Изобразим область D. По рисунку видим, что эта область расположена в горизонтальной полосе между прямыми y=0, y=2 и между линиями =0и x = y  2. Это значит, что

D = {(xy): 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x≤ y/2.

Тогда по формуле (10) получаем


2)Вычислить интеграл  где  область из примера 1.

Решение. Расставим пределы интегрирования в интеграле подобно примеру 1:

Вычислим внутренний интеграл по переменной y, считая константой:

Теперь вычислим внешний интеграл по x:


Замена переменных в двойном интеграле.

Иногда для упрощения вычислений делают замену переменных:

 (11)

Если функции (11) непрерывно дифференцируемы и определитель (Якобиан) отличен от нуля в рассматриваемой области:

 (12)


то:  (13)