Лекции 5-6
Тема2. Кратные интегралы.
Двойной интеграл.
Контрольные вопросы.
1. Двойной интеграл, его геометрический и физический смысл
2. Свойства двойного интеграла.
3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
4. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
Замечание. Ниже будем считать все рассматриваемые кривые кусочно-гладкими. Диаметром замкнутой ограниченной области будем называть наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области
Пусть функция z = f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости. Разобьём область D произвольным образом на nэлементарных замкнутых областей 1, … ,n, имеющих площади 1, …, n и диаметры d1 , …, dnсоответственно. Обозначим d наибольший из диаметров областей 1, … ,n . В каждой области k выберем произвольную точку Pk (xk ,yk) и составим интегральную сумму функции f(x,y)
S = (1)
Определение. Двойным интегралом функции f(x,y) по области D называется предел интегральной суммы
, (2)
если он существует.
Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области D и выбора точек Pk (k=1, …, n). Однако, предел , если он существует, не зависит от способа разбиения области D и выбора точек Pk .
Достаточное условие существования двойного интеграла. Двойной интеграл (1) существует, если функция f(x,y) непрерывна в D за исключением конечного числа кусочно-гладких кривых и ограничена в D. В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые двойные интегралы существуют.
Геометрический смысл двойного интеграла.
Если f(x,y) ≥0 в области D, то двойной интеграл (1) равен объему «цилиндрического” тела, изображенного на рисунке:
V = (3)
Цилиндрическое тело ограничено снизу областью D, сверху частью поверхности z=f(x,y), с боков вертикальными отрезками прямых, соединяющих границы этой поверхности и области D.
Физический смысл двойного интеграла. Масса плоской пластины.
Пусть задана плоская пластина D с известной функцией плотности γ(х,у), тогда разбивая пластину D на части Di и выбирая произвольные точки , получим для массы пластины
, или, сравнивая с формулой (2):
(4)
4. Некоторые свойства двойного интеграла.
-
Линейность. Если С – числовая константа, то
,
-
Аддитивность. Если область D «разбита” на области D1 и D2, то
.
3) Площадь ограниченной области D равна
(5)
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Пусть задана область
Рисунок 1
D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y≤ φ2(x)} (6)
Область D заключена в полосе между прямыми x = a, y = b, снизу и сверху ограничена соответственно кривыми y = φ1(x) и y = φ2(x) .
Двойной интеграл (1) по области D (4) вычисляется переходом к повторному интегралу:
(7)
Этот повторный интеграл вычисляется следующим образом. Сначала вычисляется внутренний интеграл
по переменной y, при этом x считается постоянной. В результате получится функция от переменной x, а затем вычисляется «внешний” интеграл от этой функции по переменной x.
Замечание. Процесс перехода к повторному интегралу по формуле (7) часто называют расстановкой пределов интегрирования в двойном интеграле. При расстановке пределов интегрирования нужно помнить два момента. Во-первых, нижний предел интегрирования не должен превышать верхнего, во-вторых, пределы внешнего интеграла должны быть константами, а внутреннего должны в общем случае зависеть от переменной интегрирования внешнего интеграла.
Пусть теперь область D имеет вид
D = { (x, y) : c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) } . (8)
Тогда
. (9)
Предположим, что область D можно представить в виде (6) и (8) одновременно. Тогда имеет место равенство
(10)
Переход од одного повторного интеграла к другому в равенстве (10) называется изменением порядка интегрирования в двойном интеграле.
Примеры.
1) Изменить порядок интегрирования в интеграле
Решение. По виду повторного интеграла находим область
D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y≤ 2} .
Изобразим область D. По рисунку видим, что эта область расположена в горизонтальной полосе между прямыми y=0, y=2 и между линиями x =0и x = y 2. Это значит, что
D = {(x, y): 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x≤ y/2} .
Тогда по формуле (10) получаем
2)Вычислить интеграл где D область из примера 1.
Решение. Расставим пределы интегрирования в интеграле подобно примеру 1:
Вычислим внутренний интеграл по переменной y, считая x константой:
Теперь вычислим внешний интеграл по x:
Замена переменных в двойном интеграле.
Иногда для упрощения вычислений делают замену переменных:
,
(11)
Если функции (11) непрерывно дифференцируемы и определитель (Якобиан) отличен от нуля в рассматриваемой области:
(12)