Лекции кратные интегралы, двойной интеграл 2

    Скачать с Depositfiles 

Двойной интеграл в полярных координатах.


В полярных координатах точка M однозначно определяется полярным углом φ (0 ≤ φ <2π или –π < φ  π) и полярным радиусом (r≥0). Для начала координат O радиус = 0, а полярный угол не определен.

Пусть декартова полуось Ox совпадает с полярным лучом.

Декартовы координаты выражаются через полярные по формулам

 (14)

Полярные координаты выражаются через декартовы:

. (15)


 


Пусть область D в декартовых координатах преобразуется в область Dr в полярных координатах согласно формулам (10).

 

Якобиан в данном случае равен:

Тогда интеграл (2) преобразуется в двойной интеграл в полярных координатах по формуле

 (16)

Двойной интеграл (16) вычисляется переходом к повторному интегралу в полярных координатах. Пусть область Dимеет вид

Dr = { (rφ ) : α ≤ φ ≤ βr1(φ) ≤ r≤ r(φ)},

где лучи φ α и φ = β ограничивают сектор, в котором находится фигура D, кривые r1(φ), r = r(φограничивают ее в этом секторе. Тогда

(17)

Замечание. При расстановке пределов интегрирования в повторном интеграле нужно учесть, что изменение полярного угла определяется поворотом луча, исходящего из начала O вокруг него против хода часовой стрелки, а изменение полярного радиуса определяется движением точки вдоль луча в сторону его возрастания.

 

Рисунок 5


Примеры. 1). Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле в полярных координатах

 

где D полукруг из рисунка 5.

Решение. Все точки этого полукруга будут охвачены, если луч Оl будет поворачиваться от  до φ = 0 против хода часовой стрелки. Значит, . Пусть теперь луч Оl имеет полярный угол . Тогда при движении точки полукруга по лучу О(рис. 5) от точки О до точки Mполярный радиус r изменяется от 0 до координаты r=2cosφ точки M. Значит,

≤ r ≤ 2cos φ. Таким образом, Dr = {(rφ): , 0 ≤ r ≤ 2 cos φСледовательно,

2) Вычислить  где D = {(xy): x2 y22x ≤ 0, y≤ 0.

Решение. Подставим в уравнение окружности x2 +y22= полярные координаты (9) и преобразуем: r22 rcosφ = 0  =2cosφ. Мы получили уравнение полуокружности в полярных координатах из рисунка 5. Поскольку y≤ 0, то  полукруг из примера 3. Расставим пределы интегрирования как в этом примере и вычислим:


Вычисление площади фигуры.

Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле 

 

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 

Решение. Данная фигура расположена в вертикальной полосе 0  x ≤ 2, а в ней ограничена снизу параболой y = x2, сверху  прямой y = 4 (рис. 6). По формуле (5) имеем




.


Вычисление объема цилиндрического тела.

Если (x,y) ≥ 0 в ограниченной области D, то объем цилиндрического тела (рис.1) вычисляется по формуле V = 

Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

z = 0, x+ y= 4, z = x+ y.

Решение. x+ y= 4  это круговой цилиндр радиуса 2, ось которого совпадает с Оy. z = x+ y параболоид, который пересекает цилиндр по окружности радиуса 2 в плоскости z = 4 . z=0  координатная плоскость xOyТаким образом, тело ограничено сверху параболоидом

z = x+ y, снизу  кругом D , с боков  цилиндрической поверхностью x+ y= 4. Так как данное тело цилиндрическое и

z = x+ y≥ 0, то для вычисления его объема можно использовать формулу

где ={ (xy) : x+ y≤ 4, z = 0  круг в плоскости xOyДля вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. При этом круг Dпреобразуется во множество

D={ (rφ) : 0 ≤ φ < 2π , 0 ≤ r ≤ 2 }По формуле (17) получим