Двойной интеграл в полярных координатах.
В полярных координатах точка M однозначно определяется полярным углом φ (0 ≤ φ <2π или –π < φ π) и полярным радиусом r (r≥0). Для начала координат O радиус r = 0, а полярный угол не определен.
Пусть декартова полуось Ox совпадает с полярным лучом.
Декартовы координаты выражаются через полярные по формулам
(14)
Полярные координаты выражаются через декартовы:
. (15)
Пусть область D в декартовых координатах преобразуется в область Dr в полярных координатах согласно формулам (10).
Якобиан в данном случае равен:
Тогда интеграл (2) преобразуется в двойной интеграл в полярных координатах по формуле
(16)
Двойной интеграл (16) вычисляется переходом к повторному интегралу в полярных координатах. Пусть область Dr имеет вид
Dr = { (r, φ ) : α ≤ φ ≤ β, r1(φ) ≤ r≤ r2 (φ)},
где лучи φ = α и φ = β ограничивают сектор, в котором находится фигура Dr , кривые r = r1(φ), r = r2 (φ) ограничивают ее в этом секторе. Тогда
(17)
Замечание. При расстановке пределов интегрирования в повторном интеграле нужно учесть, что изменение полярного угла определяется поворотом луча, исходящего из начала O вокруг него против хода часовой стрелки, а изменение полярного радиуса определяется движением точки вдоль луча в сторону его возрастания.
Рисунок 5
Примеры. 1). Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле в полярных координатах
где Dr полукруг из рисунка 5.
Решение. Все точки этого полукруга будут охвачены, если луч Оl будет поворачиваться от 
до φ = 0 против хода часовой стрелки. Значит, 
. Пусть теперь луч Оl имеет полярный угол 
. Тогда при движении точки полукруга по лучу Оl (рис. 5) от точки О до точки Mполярный радиус r изменяется от 0 до координаты r=2cosφ точки M. Значит,
0 ≤ r ≤ 2cos φ. Таким образом, Dr = {(r, φ): , 0 ≤ r ≤ 2 cos φ} . Следовательно,
2) Вычислить 
где D = {(x, y): x2 + y22x ≤ 0, y≤ 0} .
Решение. Подставим в уравнение окружности x2 +y22x = 0 полярные координаты (9) и преобразуем: r22 rcosφ = 0 
r =2cosφ. Мы получили уравнение полуокружности в полярных координатах из рисунка 5. Поскольку y≤ 0, то D полукруг из примера 3. Расставим пределы интегрирования как в этом примере и вычислим:
Вычисление площади фигуры.
Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле 
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение. Данная фигура D расположена в вертикальной полосе 0 ≤ x ≤ 2, а в ней ограничена снизу параболой y = x2, сверху прямой y = 4 (рис. 6). По формуле (5) имеем
.
Вычисление объема цилиндрического тела.
Если f (x,y) ≥ 0 в ограниченной области D, то объем цилиндрического тела (рис.1) вычисляется по формуле V = 
Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z = 0, x2 + y2 = 4, z = x2 + y2 .
Решение. x2 + y2 = 4 это круговой цилиндр радиуса 2, ось которого совпадает с Оy. z = x2 + y2 параболоид, который пересекает цилиндр по окружности радиуса 2 в плоскости z = 4 . z=0 координатная плоскость xOy. Таким образом, тело ограничено сверху параболоидом
z = x2 + y2 , снизу кругом D , с боков цилиндрической поверхностью x2 + y2 = 4. Так как данное тело цилиндрическое и
z = x2 + y2 ≥ 0, то для вычисления его объема можно использовать формулу
где D ={ (x, y) : x2 + y2 ≤ 4, z = 0 } круг в плоскости xOy. Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. При этом круг Dпреобразуется во множество
Dr ={ (r, φ) : 0 ≤ φ < 2π , 0 ≤ r ≤ 2 }. По формуле (17) получим
